Notions De Logique Exercices Série 2

Opération sur les Propositions (logique)

Exercice1
Soient $p,q$ et $r$ trois propositions; on considère la proposition $A:(p$ et $q)\Rightarrow r$
1) Donner la négation de la proposition $A$.
2) Déterminer la valeur de vérité de $A$ dans chacun des cas suivants:
$a-p$ est fausse
$\mathrm{b}-r$ est vraie

Exercice 2
Soient $p$ et $q$ deux propositions
On considère la proposition, $A:(p\Rightarrow q)\Rightarrow \overline{q}$
1) Donner la négation de la proposition $\mathrm{A}$
2) Déterminer la valeur de vérité de la proposition $A$ dans chacun des cas suivants:
a- $q$ est vraie
b- $q$ est fausse

Exercice3
Soient $p,q$ et $r$ trois positions.
Montrer que:
1) $A:[p\Rightarrow (q\Rightarrow r)]\iff [(p$ et $q)\Rightarrow r]$
2) $B:[p\Rightarrow (q$ et $r)]\iff [(p\Rightarrow q)$ et $(p\Rightarrow r)]$

Quantificateur (logique)

Exercice 4
On considère les propositions $P,Q$ et $R$ telles que:
$P:(\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{+});\frac{x+1}{2}\ge \sqrt{x}$
$Q:(\mathrm{\forall }x\in ]0,[)1;(\mathrm{\forall }y\in ]0,[)1,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>2$
$R:(\mathrm{\exists }x\in {\mathbb{R}}^{+});\frac{1}{1+\sqrt{x}}=1$
1) Donner la négation de chacune des propositions $P,Q$ et $R$.
2) Montrer que chacune des propositions $P,Q$ et $R$ est vraie.

Exercice 5
On considère les propositions suivantes:
$P:(\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{+}),\frac{1}{1+\sqrt{x}}\ne 1$
$Q:(\mathrm{\exists }x\in ]0,[)1,\frac{2x}{1+x^2}>1$
$R:(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}),(\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R}),\frac{2y}{1+y^2}>x$
1) Donner la négation de chacune des propositions $P,Q$ et $R$.
2) Montrer que chacune des propositions $P,Q$ et $R$ est fausse.

Exercice 6
On considère les propositions $A,B$ et $C$ telles que:
$A:(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}),(x^2\in \mathbb{N})\Rightarrow (x\in \mathbb{Z})$
$B:(\mathrm{\exists }x\in {\mathbb{R}}^{+}),(x>1)\Rightarrow (x^2<1)$
$C:(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}),(x\le 0)\Rightarrow (x^2\ge 2)$
1) Donner la négation de chacune des propositions $A,B$ et $C$.
2) Montrer que chacune des propositions $A,B$ et $C$ est fausse.

Exercice 7
On considère les propositions $A,B$ et $C$ telles que:
$A:(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}),\sqrt{x-1}+|x^2-1|\ne 0$
$B:(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}),x^2\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \mathbb{Z}$
$C:(\mathrm{\forall }x\in ]1,+\mathrm{\infty }[),\frac{x}{\sqrt{x-1}}<2$
1) Donner la négation des propositions $A,B$ et $C$.
2) Montrer que chacune des propositions $A,B$ et $C$ est fausse.

Logique et raisonnement mathématique

Exercice 8
Montrer que:
1) $\mathrm{\forall }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2,(xy-2=y-2x)\iff (x=1$ ou $y=-2)$.
2) $\mathrm{\forall }(a,b)\in {\mathbb{R}}^2,\frac{a^2+b^2}{2}=a+b-1\iff (a=1$ et $b=1)$
3) $(\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{+}),(\sqrt{2x+2}-\sqrt{x}=1)\iff (x=1)$.

Exercice 9
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
Démontrer que: $x^2=y^2\iff x=y$ ou $x=-y$.

Exercice 10
Montrer que:
1) $(\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{+}),(\mathrm{\forall }y\in {\mathbb{R}}^{+}),\frac{x+y+2}{2}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\iff (x=1$ et $y=1)$.
2) $\mathrm{\forall }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2,xy+6=3x+2y\iff (x=2$ ou $y=3)$
3) (∀x∈[1,+∞[),(∀y∈[2,+∞[),
$\sqrt{x-1}+2\sqrt{y-2}=\frac{x+y+2}{2})\iff (x=2$ et $y=6)$

Exercice 11
Montrer que:
$(\mathrm{\forall }a\in [0,+\mathrm{\infty }[),a<\sqrt{3+\sqrt{3}}-2\Rightarrow a^4+8a^3+18a^2+8a<3$

Exercice 12
Montrer par contraposé que:
$(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}),(x\ne -\sqrt{7}$ et $x\ne \sqrt{7})\Rightarrow (\frac{3}{\sqrt{x^2+2}}\ne 1)$
$(\mathrm{\forall }(a,b)\in {\mathbb{R}}^2),(a\ne b$ et $ab\ne 1)\Rightarrow (\frac{a}{a^2+1}\ne \frac{b}{b^2+1})$

Exercice 13
Montrer que :
1) $(\mathrm{\forall }x\in [1,+\mathrm{\infty }[),(\mathrm{\forall }y\in [1,+\mathrm{\infty }[),x\ne y\Rightarrow x^2-2x\ne y^2-2y$
2) $(\mathrm{\forall }x\in ]1,+\mathrm{\infty }[),(\mathrm{\forall }y\in ]1,+\mathrm{\infty }[),x\ne y\Rightarrow \frac{x}{x^2-1}\ne \frac{y}{y^2-1}$

Exercice 14
Montrer que $\mathrm{\forall }(a,b)\in {\left({\mathbb{R}}^{\ast +}\right)}^2:a\ne b\Rightarrow \frac{a+1}{a^2+2a+2}\ne \frac{b+1}{b^2+2b+2}$

Exercice 15
Montrer que pour tous réels $x$ et $y$ on a :
$(xy\ne -1$ et $2x+y\ne 1)\Rightarrow (2x^{2}y+x{y}^2+2x\ne xy-y+1)$

Exercice 16
Montrer que: $(\mathrm{\forall }a\in [1,+\mathrm{\infty }[),(\mathrm{\forall }b\in [4,+\mathrm{\infty }[)$
$(a\ne 2$ ou $b\ne 8)\Rightarrow (\sqrt{a-1}+2\sqrt{b-4}\ne \frac{a+b}{2})$

Exercice 17
Montrer que:
$(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}),(\mathrm{\forall }y\in \mathbb{R}):(|x|\ne |y|$ et $|xy|\ne 1)\Rightarrow (y^2|x|-|y|\ne x^2|y|-|x|)$.