Limites et Continuité 2 SM Exercices Résolus

Exercice résolus 
Exercice 1
soit f la fonction définie sur [0,1] par $\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{x(1-x)}{\sin (\pi x)}\text{ si }x\in ]0,1[\\ f(0)=f(1)=\frac{1}{\pi }\end{array}$
Etudier la continuité de f sur [0,1]
Correction
Rappel : f est une fonction continue sur [a,b] ssi
– f est continue à droite en a
– f est continue à gauche en b
– f est continue sur ]a, b[
* Étudions la continuité de f en 0
$\underset{x➝0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x➝0^{+}}{lim}\frac{x(1-x)}{\sin (\pi x)}$ 
$=\underset{x➝0^{+}}{lim}\frac{x}{\sin (\pi x)}.(1-x)$
$=\frac{1}{\pi }=f(0)$
Donc f est continue à droite en 0
* Étudions la continuité de f à gauche en 1
on pose
t=x-1 donc x=t+1
$x➝1^{-}➝t➝0^{-}$
$\underset{x➝1^{-}}{lim}f(x)=\underset{x➝1^{-}}{lim}\frac{x(1-x)}{\sin (\pi x)}$
$\underset{t➝0^{-}}{lim}\frac{(t+1)}{\sin (\pi t+\pi )}\cdot (-t)=\frac{1}{\pi }=f(1)$
Donc f est continue à gauche en 1 .
* Étudions la continuité de f en ]0,1[
On la fonction x ↦x(x-1) est une fonction
polynôme donc est continue sur IR en particulier est
continue sur ]0,1[
la fonction x↦ sin (π x) est continue sur IR en
particulier est continue sur ]0,1[
et on a 
(∀x ∈ IR) x ∈ ]0,1[➝ 0<x<1
➝0<π x<π 
➝ 0<sin (π x)<1
Donc ∀x ∈ ]0,1[sin(π x)≠0 et par suite f est continue
sur ]0,1[ car c’est le quotient de deux fonctions continues
sur ]0,1[
Conclusion : f est continue sur [0,1].

Exercice 2
Soit f la fonction définie par : $f(x)=E(x)+(x-E(x){)}^2$
1) Etudier la continuité de fen $x_0=2$
2) Etudier la continuité de fen $x_1=\sqrt{2}$
3) Etudier la continuité de f sur IR
Correction
1) On étudier la continuité de f en $x_0=2$
Il suffit de donner l’expression de $f(x)$ sur les deux
intervalles [1,2[ et [2,3[
$\mathrm{On}{D}_f=IR$ et $f(2)=2$
Pour tout x de [1,2[ on a $f(x)=1+(x-1{)}^2$
car((E(x)=1)
et par suite $\underset{x\to 2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}1+(x-1{)}^2=2=f(2)$
donc la fonction est continue à gauche en 2
Pour tout x de [2,3[ on a $f(x)=2+(x-2{)}^2$
car ((E(x)=2)
et par suite $\underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}2+(x-2{)}^2=2=f(2)$
donc la fonction est continue à droite en 2
comme la fonction f est continue à droite et 
a gauche en 2
alors la fonction f est continue en 2
2) Etudions la continuité de fen $x_1=\sqrt{2}$
Comme les deux fonctions $g:x\mapsto \mathrm{E}(\mathrm{x})$ et $h:x\mapsto \mathrm{x}$
sont continués en $x_1=\sqrt{2}$ alors la fonction
$f=g+(h-g{)}^2$ est continue en $x_1=\sqrt{2}$
3) On étudier la continuité de f sur IR
$\bullet$ Comme les deux fonctions $\mathrm{g}:x\mapsto E(x)$ et $h:x\mapsto x$
sont continuées sur tout intervalle inclus dans
$(IR-\mathbb{Z})$
Alors la fonction $f=g+(h-g{)}^2$ est continue sur
tout intervalle inclus dans $(IR-\mathbf{Z})$
$\bullet$ On étudie la continuité de $f$ en tout point de $\mathbb{Z}$
Soit $\mathrm{k}$ un élément de $\mathbb{Z}$ on a f(k)=k et par suite
$(\forall x\in [k-1,k[)f(x)=k-1+(x-k+1{)}^2$
$(\mathrm{car}E(x)=k-1)$
Donc $\underset{x\to k^{-}}{lim}f(x)=k=f(k)$ et par suite f est continue
à gauche en k
$(\forall x\in [k,k+[)1f(x)=k+(x-k{)}^2$
$(\mathrm{car}E(x)=k)$
Donc $\underset{x\to k^{+}}{lim}f(x)=k=f(k)$ et par suite fest continue
à droite en $\mathrm{k}$
Comme f est continue à gauche et à droite en $\mathrm{k}$ alors $\mathrm{f}$
est continue en k. et par suite f est continue sur IR.

Exercice 3
Soit f la fonction définie par $f(x)=\frac{\sqrt{2x}-\sqrt{1+x^2}}{x-\sqrt{x}}$
1) Déterminer $D_f$ le domaine de définition de $f$
2) Calculer les limites suivantes $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$
3) Démontrer que f est admet un prolongement par continuité en $x_0=1$ à déterminer
Correction
1) On détermine $D_f$
x∈$D_f$ ⇔ x ≥ 0 et x – $\sqrt{x}$ ≠ 0
⇔ x ≥ 0 et $\sqrt{x}$($\sqrt{x}$ – 1) ≠ 0
⇔ x ≥ 0 et x ≠ 0 et x ≠ 1
⇔ x ∈$]0,1[\cup ]1,+\infty [$
Et par suite $D_f=]0,1[\cup ]1,+\infty [$
2) On calcule $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$
Soit $x\in ]1,+\mathrm{\infty }[$ on a
f(x)=$\frac{\sqrt{2x}-\sqrt{1+x^2}}{x-\sqrt{x}}$
=$\frac{x(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})}{x(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}$
On a $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}1-\frac{1}{\sqrt{x}}=0$ et 
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$= –1
alors $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-1$
On calcule $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)$
Ona $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt{2x}-\sqrt{1+x^2}=-1$ et $\underset{x\to 0^{+}}{lim}x-\sqrt{x}=0^{-}$
Alors $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$
3) on a $1\notin D_f$. Soit $\mathrm{x}$ un élément de $D_f$ on a
$f(x)=\frac{\sqrt{2x}-\sqrt{1+x^2}}{x-\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{2x}-\sqrt{1+x^2})(x+\sqrt{x})}{x^2-x}$
=$\frac{(2x-1-x^2)(x+\sqrt{x})}{(x^2-x)(\sqrt{2x}+\sqrt{1+x^2})}$ 
=$\frac{-(x-1{)}^2(x+\sqrt{x})}{x(x-1)(\sqrt{2x}+\sqrt{1+x^2})}$ 
=$\frac{-(x-1)(x+\sqrt{x})}{x(\sqrt{2x}+\sqrt{1+x^2})}$
Et par suite
$\underset{x\to 1}{lim}f(x)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{-(x-1)(x+\sqrt{x})}{x(\sqrt{2x}+\sqrt{1+x^2})}=0$
Donc la fonction f est prolongeable par continuité en 1
Soit g ce prolongement on a :
$\{\begin{array}{l}g(x)=f(x)\text{ si }x\in ]0,1[\cup ]1,+\mathrm{\infty }[\\ g(1)=0\end{array}$

Exercice 4
Soit fune fonction définie de IR de $]-\mathrm{\infty },1[$ et g une fonction definie de IR vers $]1,+\mathrm{\infty }[$, tels
que $f$ et $g$ sont continués sur $\mathbb{R}$ et que $(\mathrm{\exists }(x_1,x_2)\in I{R}^{\ast +2}/x_1<x_2$ et $f\left(x_1\right)=x_1$ et $g\left(x_2\right)=x_2$
Démontrer $(\mathrm{\exists }{x}_3\in ]x_1,x_2[/f\left(x_3\right),g\left(x_3\right)=x_3$
Correction
On considère la fonction h définie par:
(∀x ∈ IR) h(x)=f(x) . g(x)-x
*On a la fonction x ↦ f(x) . g(x) est continue sur IR.
car c’est le produit de deux fonctions continues sur IR.
Et par suite la fonction h est continue sur IR car c’est la
somme de deux fonctions continues sur IR
On a $h\left(x_1\right)=f\left(x_1\right)\cdot g\left(x_1\right)-x_1=x_1(g\left(x_1\right)-1)$
Et $h\left(x_2\right)=f\left(x_2\right)\cdot g\left(x_2\right)-x_2=x_2(f\left(x_2\right)-1)$
Et par suite $h\left(x_1\right)$＞0 puis on a
f: IR⟶]-∞,1[ donc $f\left(x_2\right)$-1<0 et $x_2$ 0 et
par suite $h\left(x_1\right)$,$h\left(x_2\right)$く0 et come h est continue sur
IR donc elle continue sur le segment [$x_1$,$x_2$] et d’après
le théorème des valeurs intermédiaires:
(∃$x_3$ ∈ ]$x_1$$x_2$[/f($x_3$)=0
C à d (∃$x_3$ ∈ ]$x_1$$x_2$[/f($x_3$),g($x_3$)-$x_3$=0
C à d (∃$x_3$ ∈ ]$x_1$$x_2$[/f($x_3$),g($x_3$)=$x_3$.

Exercice 5
Soient β et λ deux elements de $I{R}^{\ast +}$ et f une fonction definie et continue sur l’intervalle [0,1]
tel que f(1) ≠ f(0)
Démontrer que ∃$x_0$ ∈ ]0,1[: λf(0) + βf(1) = (λ+β)f($x_0)$
Correction 
On considere la fonction g definie [0,1] par
∀x∈[0,1]g(x)=(λ+β)f(x) – λf(0)- βf(1)
on a g(0)=β(f(0) – f(1)) 
et g(1)= λ(f(1)-f(0))
Donc g(1), g(0)= -λβ(f(0)-$f(1){)}^2$ et on a
d’après les données f(1) ≠ f(0) et λ > 0 et β > 0
donc g(1),g(0)＜ 0
Et on a g est continue sur [0,1] car la omme de deux fonctions continues sur [0,1]
Donc d’après le théoréme des valeurs intérmédiaires 
∃$x_0$ ∈ ]0,1[:g($x_0$)=0
∃$x_0$ ∈ ]0,1[:λf(0)+βf(1)=(λ+β)f($x_0$).

Exercice 6
f est une fonction définie et continue sur IR et on suppose que ∃a ∈ ??/fof(a)=a 
démontrer que ∃a ∈ IR/f(c)=c
Correction
On considere la fonction g definie sur IR par
g(x)=f(x)-x
on a g est continue sur IR car c’est la somme de deux
fonctions continues sur IR et on a g(a)=f(a)-a et
$\mathrm{g}(f(a))=fof(a)-f(a)=a-f(a)$
Et par suite g(f(a)).(a)=$-(a-f(a){)}^2$
Si f(a)=a on prend c=a
Si f(a) ≠ a alors g est continue sur l’intervalle des
extrémités a et f(a) et on a g(f(a)).g(a)<0
Et d’après le théor ème des valeurs intermédiaires
∃c ∈IR / g(c)=0
C à d ∃c ∈ IR/f(c)=c.

Exercice 7
Soit f:R⟶R une fonction telle que ∀x, y ∈|(x)-f(y)|≤|sin (x)-sin(y)|
1. Montrer que la fonction f est 2π périodique.
2. Montrer que f est continue sur IR
Correction
1. $\mathrm{\forall }x\in IR,|(x)-f(x+2\pi )|\le |\sin (x)-\sin (x+2\pi )|=0$
Ce qui équivaut à ce que $\mathrm{\forall }x\in IR,f(x)=f(x+2\pi )$,
f est 2π périodique.
2. Soit $x_0\in IR$
Première méthode
$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\eta >0,|x-x0|<\eta \Rightarrow |\sin (x)-\sin \left(x_0\right)|<ϵ$ Car
la fonction sin est une fonction continue. Cela entraine
que pour tout $\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\eta >0,|x-x_0|<\eta \Rightarrow$
$|(x)-f\left(x_0\right)|\le |\sin (x)-\sin (x0)|<ϵ$ Cela montre que la
fonction $f$ est continue en $x_0,$ ceci étant vrai pour tout
$x_0\in IR,$ la fonction $f$ est continue sur IR.

Deuxième méthode
Pour montrer que f est continue en un $x_0\in IR$
quelconque. $0\le |(x)-f\left(x_0\right)|\le |\sin (x)-\sin \left(x_0\right)|$ Donc
$0\le \underset{x\to x_0}{lim}|f(x)-f\left(x_0\right)|$
$\le \underset{x\to x_0}{lim}|\sin (x)-\sin \left(x_0\right)|=0$
Car sin est continue en $x_0$
On en déduit que $\underset{x\to x_0}{lim}$|f(x)-f($x_0$)|=0
Ce qui est équivalent à $\underset{x\to x_0}{lim}$f(x)=f($x_0$)
Autrement que f est continue en $x0$ quelconque, et donc sur IR.