Exercice résolus
Exercice 1
soit f la fonction définie sur [0,1] par \(\left\{\begin{array}{l} f(x)=\frac{x(1-x)}{\sin (πx)} \text { si } \left.x ∈\right] 0,1[ \\ f(0)=f(1)=\frac{1}{π}\end{array}\right.\)
Etudier la continuité de f sur [0,1]
Correction
Rappel : f est une fonction continue sur [a,b] ssi
– f est continue à droite en a
– f est continue à gauche en b
– f est continue sur ]a, b[
* Étudions la continuité de f en 0
\(\lim _{x➝0^{+}} f(x) =\lim _{x➝ 0^{+}} \frac{x(1-x)}{\sin (πx)}\)
\(=\lim _{x➝ 0^{+}} \frac{x}{\sin (πx)}.(1-x)\)
\(=\frac{1}{π}=f(0)\)
Donc f est continue à droite en 0
* Étudions la continuité de f à gauche en 1
on pose
t=x-1 donc x=t+1
\(x➝ 1^{-} ➝ t➝ 0^{-}\)
\(\lim _{x➝ 1^{-}} f(x)=\lim _{x➝ 1^{-}} \frac{x(1-x)}{\sin (πx)}\)
\(\lim _{t➝ 0^{-}} \frac{(t+1)}{\sin (π t+π )} \cdot(-t)=\frac{1}{π }=f(1)\)
Donc f est continue à gauche en 1 .
* Étudions la continuité de f en ]0,1[
On la fonction x ↦x(x-1) est une fonction
polynôme donc est continue sur IR en particulier est
continue sur ]0,1[
la fonction x↦ sin (π x) est continue sur IR en
particulier est continue sur ]0,1[
et on a
(∀x ∈ IR) x ∈ ]0,1[➝ 0<x<1
➝0<π x<π
➝ 0<sin (π x)<1
Donc ∀x ∈ ]0,1[sin(π x)≠0 et par suite f est continue
sur ]0,1[ car c’est le quotient de deux fonctions continues
sur ]0,1[
Conclusion : f est continue sur [0,1].
Exercice 2
Soit f la fonction définie par : \(f(x)=E(x)+(x-E(x))^{2}\)
1) Etudier la continuité de fen \(x_{0}=2\)
2) Etudier la continuité de fen \(x_{1}=\sqrt{2}\)
3) Etudier la continuité de f sur IR
Correction
1) On étudier la continuité de f en \(x_{0}=2\)
Il suffit de donner l’expression de \(f(x)\) sur les deux
intervalles [1,2[ et [2,3[
\(\operatorname{On} D_{f}=I R\) et \(f(2)=2\)
Pour tout x de [1,2[ on a \(f(x)=1+(x-1)^{2}\)
car((E(x)=1)
et par suite \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} 1+(x-1)^{2}=2=f(2)\)
donc la fonction est continue à gauche en 2
Pour tout x de [2,3[ on a \(f(x)=2+(x-2)^{2}\)
car ((E(x)=2)
et par suite \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}} 2+(x-2)^{2}=2=f(2)\)
donc la fonction est continue à droite en 2
comme la fonction f est continue à droite et
a gauche en 2
alors la fonction f est continue en 2
2) Etudions la continuité de fen \(x_{1}=\sqrt{2}\)
Comme les deux fonctions \(g: x \mapsto \mathrm{E}(\mathrm{x})\) et \(h: x \mapsto \mathrm{x}\)
sont continués en \(x_{1}=\sqrt{2}\) alors la fonction
\(f=g+(h-g)^{2}\) est continue en \(x_{1}=\sqrt{2}\)
3) On étudier la continuité de f sur IR
\(\bullet\) Comme les deux fonctions \(\mathrm{g}: x \mapsto E(x)\) et \(h: x \mapsto x\)
sont continuées sur tout intervalle inclus dans
\((IR-\mathbb{Z})\)
Alors la fonction \(f=g+(h-g)^{2}\) est continue sur
tout intervalle inclus dans \((IR-\mathbf{Z})\)
\(\bullet\) On étudie la continuité de \(f\) en tout point de \(\mathbb{Z}\)
Soit \(\mathrm{k}\) un élément de \(\mathbb{Z}\) on a f(k)=k et par suite
\(\left(∀x \in\left[k-1, k[) f(x)=k-1+(x-k+1)^{2}\right.\right.\)
\((\operatorname{car} E(x)=k-1)\)
Donc \(\lim _{x \rightarrow k^{-}} f(x)=k=f(k)\) et par suite f est continue
à gauche en k
\(\left(∀x \in\left[k, k+[)1 f(x)=k+(x-k)^{2}\right.\right.\)
\((\operatorname{car} E(x)=k)\)
Donc \(\lim _{x \rightarrow k^{+}} f(x)=k=f(k)\) et par suite fest continue
à droite en \(\mathrm{k}\)
Comme f est continue à gauche et à droite en \(\mathrm{k}\) alors \(\mathrm{f}\)
est continue en k. et par suite f est continue sur IR.
Exercice 3
Soit f la fonction définie par \(f(x)=\frac{\sqrt{2 x}-\sqrt{1+x^{2}}}{x-\sqrt{x}}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) le domaine de définition de \(f\)
2) Calculer les limites suivantes \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)\) et \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\)
3) Démontrer que f est admet un prolongement par continuité en \(x_{0}=1\) à déterminer
Correction
1) On détermine \(D_{f}\)
x∈\(D_{f}\) ⇔ x ≥ 0 et x – \(\sqrt{x}\) ≠ 0
⇔ x ≥ 0 et \(\sqrt{x}\)(\(\sqrt{x}\) – 1) ≠ 0
⇔ x ≥ 0 et x ≠ 0 et x ≠ 1
⇔ x ∈\( ]0,1[ ∪ ]1,+∞[ \)
Et par suite \(\left.D_{f}=\right]0,1[∪] 1,+∞[\)
2) On calcule \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\)
Soit \(x \in] 1,+\infty[\) on a
f(x)=\(\frac{\sqrt{2 x}-\sqrt{1+x^{2}}}{x-\sqrt{x}}\)
=\(\frac{x\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\right)}{x\left(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}\)
On a \(\lim _{x \rightarrow+\infty} 1-\frac{1}{\sqrt{x}}=0\) et
\(\lim _{x \rightarrow+\infty}\) \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\)= –1
alors \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-1\)
On calcule \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)\)
Ona \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{2 x}-\sqrt{1+x^{2}}=-1\) et \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x-\sqrt{x}=0^{-}\)
Alors \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty\)
3) on a \(1 \notin D_{f}\). Soit \(\mathrm{x}\) un élément de \(D_{f}\) on a
\(f(x)=\frac{\sqrt{2 x}-\sqrt{1+x^{2}}}{x-\sqrt{x}}=\frac{\left(\sqrt{2 x}-\sqrt{1+x^{2}}\right)(x+\sqrt{x})}{x^{2}-x}\)
=\(\frac{\left(2 x-1-x^{2}\right)(x+\sqrt{x})}{\left(x^{2}-x\right)\left(\sqrt{2 x}+\sqrt{1+x^{2}}\right)}\)
=\(\frac{-(x-1)^{2}(x+\sqrt{x})}{x(x-1)\left(\sqrt{2 x}+\sqrt{1+x^{2}}\right)}\)
=\(\frac{-(x-1)(x+\sqrt{x})}{x\left(\sqrt{2 x}+\sqrt{1+x^{2}}\right)}\)
Et par suite
\(\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-(x-1)(x+\sqrt{x})}{x\left(\sqrt{2 x}+\sqrt{1+x^{2}}\right)}=0\)
Donc la fonction f est prolongeable par continuité en 1
Soit g ce prolongement on a :
\(\left\{\begin{array}{l}g(x)=f(x) \text { si } x \in] 0,1[\cup] 1,+\infty[ \\ g(1)=0\end{array}\right.\)
Exercice 4
Soit fune fonction définie de IR de \(]-\infty, 1[\) et g une fonction definie de IR vers \(] 1,+\infty[\), tels
que \(f\) et \(g\) sont continués sur \(\mathbb{R}\) et que \(\left(\exists\left(x_{1}, x_{2}\right) \in I R^{*+2} / x_{1}<x_{2}\right.\) et \(f\left(x_{1}\right)=x_{1}\) et \(g\left(x_{2}\right)=x_{2}\)
Démontrer \(\left(\exists x_{3} \in\right] x_{1}, x_{2}\left[/ f\left(x_{3}\right), g\left(x_{3}\right)=x_{3}\right.\)
Correction
On considère la fonction h définie par:
(∀x ∈ IR) h(x)=f(x) . g(x)-x
*On a la fonction x ↦ f(x) . g(x) est continue sur IR.
car c’est le produit de deux fonctions continues sur IR.
Et par suite la fonction h est continue sur IR car c’est la
somme de deux fonctions continues sur IR
On a \(h\left(x_{1}\right)=f\left(x_{1}\right) \cdot g\left(x_{1}\right)-x_{1}=x_{1}\left(g\left(x_{1}\right)-1\right)\)
Et \(h\left(x_{2}\right)=f\left(x_{2}\right) \cdot g\left(x_{2}\right)-x_{2}=x_{2}\left(f\left(x_{2}\right)-1\right)\)
Et par suite \(h\left(x_{1}\right)\)＞0 puis on a
f: IR⟶]-∞,1[ donc \(f\left(x_{2}\right)\)-1<0 et \(x_{2}\) 0 et
par suite \(h\left(x_{1}\right)\),\(h\left(x_{2}\right)\)く0 et come h est continue sur
IR donc elle continue sur le segment [\(x_{1}\),\(x_{2}\)] et d’après
le théorème des valeurs intermédiaires:
(∃\(x_{3}\) ∈ ]\(x_{1}\)\(x_{2}\)[/f(\(x_{3}\))=0
C à d (∃\(x_{3}\) ∈ ]\(x_{1}\)\(x_{2}\)[/f(\(x_{3}\)),g(\(x_{3}\))-\(x_{3}\)=0
C à d (∃\(x_{3}\) ∈ ]\(x_{1}\)\(x_{2}\)[/f(\(x_{3}\)),g(\(x_{3}\))=\(x_{3}\).
Exercice 5
Soient β et λ deux elements de \(IR^{*+}\) et f une fonction definie et continue sur l’intervalle [0,1]
tel que f(1) ≠ f(0)
Démontrer que ∃\(x_{0}\) ∈ ]0,1[: λf(0) + βf(1) = (λ+β)f(\(x_{0})\)
Correction
On considere la fonction g definie [0,1] par
∀x∈[0,1]g(x)=(λ+β)f(x) – λf(0)- βf(1)
on a g(0)=β(f(0) – f(1))
et g(1)= λ(f(1)-f(0))
Donc g(1), g(0)= -λβ(f(0)-\(f(1))^{2}\) et on a
d’après les données f(1) ≠ f(0) et λ > 0 et β > 0
donc g(1),g(0)＜ 0
Et on a g est continue sur [0,1] car la omme de deux fonctions continues sur [0,1]
Donc d’après le théoréme des valeurs intérmédiaires
∃\(x_{0}\) ∈ ]0,1[:g(\(x_{0}\))=0
∃\(x_{0}\) ∈ ]0,1[:λf(0)+βf(1)=(λ+β)f(\(x_{0}\)).
Exercice 6
f est une fonction définie et continue sur IR et on suppose que ∃a ∈ 𝐼𝑅/fof(a)=a
démontrer que ∃a ∈ IR/f(c)=c
Correction
On considere la fonction g definie sur IR par
g(x)=f(x)-x
on a g est continue sur IR car c’est la somme de deux
fonctions continues sur IR et on a g(a)=f(a)-a et
\(\mathrm{g}(f(a))=f o f(a)-f(a)=a-f(a)\)
Et par suite g(f(a)).(a)=\(-(a-f(a))^{2}\)
Si f(a)=a on prend c=a
Si f(a) ≠ a alors g est continue sur l’intervalle des
extrémités a et f(a) et on a g(f(a)).g(a)<0
Et d’après le théor ème des valeurs intermédiaires
∃c ∈IR / g(c)=0
C à d ∃c ∈ IR/f(c)=c.
Exercice 7
Soit f:R⟶R une fonction telle que ∀x, y ∈|(x)-f(y)|≤|sin (x)-sin(y)|
1. Montrer que la fonction f est 2π périodique.
2. Montrer que f est continue sur IR
Correction
1. \(\forall x \in IR,|(x)-f(x+2 \pi)| \leq|\sin (x)-\sin (x+2 π)|=0\)
Ce qui équivaut à ce que \(\forall x \in IR, f(x)=f(x+2 π)\),
f est 2π périodique.
2. Soit \(x_{0} \in IR\)
Première méthode
\(\forall \epsilon>0, \exists \eta>0,|x-x 0|<\eta \Rightarrow\left|\sin (x)-\sin \left(x_{0}\right)\right|<\epsilon\) Car
la fonction sin est une fonction continue. Cela entraine
que pour tout \(\forall \epsilon>0, \exists \eta>0,\left|x-x_{0}\right|<\eta \Rightarrow\)
\(\left|(x)-f\left(x_{0}\right)\right| \leq|\sin (x)-\sin (x 0)|<\epsilon\) Cela montre que la
fonction \(f\) est continue en \(x_{0},\) ceci étant vrai pour tout
\(x_{0} \in IR,\) la fonction \(f\) est continue sur IR.
Deuxième méthode
Pour montrer que f est continue en un \(x_{0} \in IR\)
quelconque. \(0 \leq\left|(x)-f\left(x_{0}\right)\right| \leq\left|\sin (x)-\sin \left(x_{0}\right)\right|\) Donc
\(0 \leq \lim _{x \rightarrow x_{0}}\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|\)
\(\leq \lim _{x \rightarrow x_{0}}\left|\sin (x)-\sin \left(x_{0}\right)\right|=0\)
Car sin est continue en \(x_{0}\)
On en déduit que \(\lim _{x \rightarrow x_{0}}\)|f(x)-f(\(x_{0}\))|=0
Ce qui est équivalent à \(\lim _{x \rightarrow x_{0}}\)f(x)=f(\(x_{0}\))
Autrement que f est continue en \(x 0\) quelconque, et donc sur IR.