Vérifier vos Acquis Bac 1 SM

math Bac 1 SM — Vérifier vos Acquis 1 Bac SM

A) Calculs de base

1- Les fractions

Soient a, b, c et d quatre nombres réels tels que: b≠0 et d≠0

–

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a d = b c

–

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}

–

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}

–

\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b c}

–

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a c}{b}

–

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a d}{b c}

2- Développement et factorisation

Soient a, b et k trois réels:

k(a+b)=k a+k b

k(a-b)=k a-k b

3- Puissances

Soient a un réel et n un entier naturel n∈IN

–

a^{0} = 1

–

a^{n} = \underset{n f o i s}{\underset{⏟}{a \times a \times \dots \times a}}

\;pour n≠0

–

a^{n} = a \times a^{n - 1}

–

a^{n + p} = a^{n} \times a^{p}

–

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} = (\frac{1}{a}

^{n}\)

–

a^{n - p} = \frac{a^{n}}{a^{p}}

–

(a^{n})^{p} = a^{n p}

4- Identités remarquables

Soient a et b deux réels.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + \dots + a^{2} b^{n - 3} + a b^{n - 2} + b^{n - 1})

5- La racine carrée

Soient

a

b

deux réels positifs:

–

\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b^{2} = a

–

\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

–

\sqrt{a^{n}} = (\sqrt{a})^{n}

–

\sqrt{(\frac{a}{b})} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

– L’équation

x^{2} = a

admet deux solutions:

x = \sqrt{a}

x = - \sqrt{a}

–

(\sqrt{a})^{2} = a

– c un réel quelconque :

\sqrt{c^{2}} = | c |

– Le conjuguais de

(\sqrt{a} - \sqrt{b})

est

(\sqrt{a} + \sqrt{b})

Le conjuguais de

(\sqrt{a} + \sqrt{b})

est

(\sqrt{a} - \sqrt{b})

(\sqrt{a} - \sqrt{b}) \times (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b

2) Polynômes

Un polynôme s’écrit de la forme:

P (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}

– Si

P (x)

est un polynôme de degré n alors pour tout réel α on a :

P (x) = (x - α) Q (x) + P (α)

où Q(x) est un polynôme de degré (n-1)

si P(α)=0 on dit que α est une racine du polynôme P et on a :

P(x)=(x-α)Q(x) on dit que P(x) est divisible par: (x-α)

– Division Euclidienne (D.E)

3) L’ordre dans IR

a≤ b ⇔a-b≤ 0

– si a≤ b et k ≥ 0 alors k a≤ kb

– si a≤ b et \(k≤ 0 alors ka ≥ kb

s i {\begin{cases} a \leq b \\ c \leq d \end{cases}

alors

a + c \leq b + d

– si

{\begin{cases} 0 \leq a \leq b \\ 0 \leq c \leq d \end{cases}

alors

a c \leq b d

– Si 0≤ a≤ x≤ b alors

a^{2} \leq x^{2} \leq b^{2}

– Si a≤ x≤ b≤ 0 alors

b^{2} \leq x^{2} \leq a^{2}

– Si

{\begin{matrix} a \leq x \leq b \\ a \leq 0 et b \geq 0 \end{matrix}

alors

0 \leq x^{2} \leq sup (a^{2}, b^{2})

– Si

{\begin{cases} a \leq x \leq b \\ c \leq y \leq d \end{cases}

alors inf (ac,ad,bc,bd)≤ xy≤ sup (ac,ad,bc,bd)

4) La valeur absolue

– |x|=x \si n ≥ 0

– |x|=-x si x≤ 0

– si A(x)≥ 0 alors |A(x)|=A(x)

– si A(x)<0 alors |A(x)|=-A(x)

– |xy|=|x|×|y|

–

| x^{n} | = | x |^{n}

–

| \frac{x}{y} | = \frac{| x |}{| y |}

5) Les intervalles

– x∈[a,b] ⇔ a≤ x≤ b

– x∈] a, b] ⇔ a<x≤ b

– x∈] a, b[⇔ a<x<b

– x∈[a,+∞[⇔ x ≥ a

– x∈]-∞,b[⇔ x<b

– si r ≥ 0 alors |x|≤ r ⇔ -r≤ x≤ r ⇔ x∈[-r, r]

– |x| ≥ r ⇔ x∈]-∞,-r] ∪[r,+∞[

6) Signe de: ax+b.

avec a≠0

7) Les trinômes :

a x^{2} + b x + c

(a ≠0)

Forme Canonique

f (x) = a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}

c’est la forme canonique de f.

où

Δ = b^{2} - 4 a c

le discriminant du trinôme f.

8) les équations et les inéquations principales dans IR.

– |A(x)|=|B(x)| ⇔ A(x)=B(x) ou A(x)=-B(x).

– |A(x)|=B(x) ⇔ B(x) ≥0 et (A(x)=B(x) ou A(x)=-B(x)).

–

\sqrt{A (x)} = \sqrt{B (x)}

⇔

{\begin{matrix} A (x) \geq 0 e t B (x) \geq 0 \\ A (x) = B (x) \end{matrix}

Applications

A- Resoudre dansIR les équations suivantes:

| 2 x^{2} + 2 x + 1 | = 5

| 2 x + 1 | = | x^{2} + x + 1 |

| x^{2} + x + 2 | = 4 x - 1

\sqrt[4]{3 x^{2} + x - 4} = \sqrt{3 x + 4}

\sqrt{x^{2} + x - 2} = 5 x + 1

B- Résoudre dans IR les inéquations suivantes:

| 2 x^{2} + 2 x + 1 | \leq 5

| 2 x + 1 | \geq | x^{2} + x + 1 |

| x^{2} + x + 2 | \leq 4 x - 1

| x^{2} + x + 2 | \geq x - 1

5 . \sqrt{3 x^{2} + x - 4} \leq \sqrt{3 x + 4}

\sqrt{x^{2} + x - 2} \leq 5 x + 1

\sqrt{x^{2} + x - 2} \geq x + 1

Exercice 1

Soient a et b deux réels strictement positifs.
On pose:

m = \frac{a + b}{2}

g = \sqrt{a b}

h = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}

q = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}

1) Montrer que:

h \leq g \leq m \leq q

2) En déduire les résultats suivants:
a)

a + \frac{1}{a} \geq 2

\frac{a b}{a + b} \leq \frac{a + b}{4}

(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4

\frac{a + b}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

Exercice 2
Soient x et y deux nombres réels tels que |x|<1 et |y|<1
Montrer que:

\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{1 - y^{2}} \leq 2 \sqrt{1 - (\frac{x + y}{2})^{2}}

Indication: Pour a ≥ 0 et b ≥ 0,

on a:

\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}})

Exercice 3
1) Résoudre, dans IR, l’équation

3 x^{2} - 7 x + 4 = 0

2) En déduire la résolution de chacune des équations suivantes:
a-

3 (\frac{2 x - 1}{x - 1})^{2} - 7 (\frac{2 x - 1}{x - 1}) + 4 = 0

3 x - 7 \sqrt{x - 2} - 2 = 0

c- Résoudre dans IR, l’inéquation

(3 x^{2} - 7 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4) \leq 0

Exercice 4
1) Résoudre dans IR, l’équation suivante $x^{3} - 2 x^{2} + x + 2 = 0$
2) En déduire la résolution dans IR, de l’équation:
$(\frac{x - 1}{x})^{3} - 2 (\frac{x - 1}{x})^{2} + (\frac{x - 1}{x}) + 2 = 0$

Exercice 5
1) Résoudre dans IR, l’équation $6 x^{2} - 5 x - 6 = 0$ .
2) Résoudre dans IR, l’inéquation: $\frac{5}{x} > 6 (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Exercice 6
1) Résoudre dans IR l’équation: $2 x^{2} - x - 6 = 0$ .
2) Résoudre dans IR l’inéquation: $2 x^{2} - x - 6 \geq 0$ .
3) En déduire les solutions de l’équation: $2 x^{2} - x - 6 = | x - 2 |$

Exercice 7
1) Résoudre dans IR l’équation:

8 (x^{2} - 7)^{2} - 18 (x^{2} - 7) + 1 = 0

2) Résoudre dans IR l’inéquation:

(x^{2} - x)^{2} - 3 (x^{2} - x) - 18 \leq 0

Exercice 8

1) Montrer que pour tout x de ]0,+∞[,

x + \frac{1}{x} \geq 2

2) Montrer que pour tout x de ]1,+∞[;

\frac{x}{\sqrt{x - 1}} \geq 2

3) En déduire que pour tous a et b de ]1,+∞[:

\frac{a^{2}}{b - 1} + \frac{b^{2}}{a - 1} \geq 8