Sujet Bac Ancien Exercices intégration PDF
terminale S
terminale S
📑 Japon 1996 ( modifié)
Pour tout entier n strictement positif.
on considère la fonction \(f_{n}\) définie sur ] 0,+∞[ par
\(f_{n}(x)=\frac{(lnx)^{n}}{x^{2}}\)
et on pose \(I_{n}=\int_{1}^{e} f_{n}(x) d x\)
1. Calculer la dérivée de \(x⟶\frac{1+lnx}{x}\).
En déduire \(I_{1}\).
2. En utilisant une intégration par parties
montrer que: \(I_{n+1}=-\frac{1}{e}+(n+1) I_{n}\).
En déduire \(I_{2}\).
3. En utilisant la formule précédente,
montrer par récurrence que pour tout entier n non nul:
\(\frac{1}{n!} I_{n}=1-\frac{1}{e}(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+…+\frac{1}{n!})\).
4. En utilisant un encadrement de ln \(x\) sur \([1, e]\),
montrer que pour tout \(n\) entier naturel non nul: \(0≤I_{n}≤1\).
En déduire\(\lim _{n➝+∞}(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+…+\frac{1}{n!})\).
📑 Amérique du Sud 1995
On pose pour tout entier naturel \(n\) non nul:
\(I_{n}=\int_{1}^{e} x^{2}(lnx)^{n} dx\)où ln désigne la fonction logarithme népérien,
et pour n=0; \( I_{0}=\int_{1}^{e} x^{2} d x\)
1. Calculer \(I_{o}\).
2. En utilisant une intégration par parties, calculer \(I_{1}\).
3. En utilisant une intégration par parties,
démontrer que pour tout entier naturel n non nul:
\(3 I_{n+1}+(n+1) I_{n}=e^{3}\) ①
En déduire \(I_{2}\).
a) Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(I_{n}\) est positive.
b) Déduire de l’égalité ① que:
pour tout entier naturel n non nul, \(I_{n}≤\frac{e^{3}}{n+1}\).
c) Déterminer \(\lim _{n➝➝+∞} I_{n}\).
📑 Sportifs de haut niveau 1994
On considère la suite 1 définie par:
\(I_{0}=\int_{0}^{1} e^{x} d x\) et pour tout entier naturel \(n≥1\) par:
\(I_{n}=\frac{1}{n!} \int_{0}^{1}(1-x)^{n} e^{x} d x\)
1) a) Calculer \(\int_{0}^{1}(1-x)^{n} d x\).
(b) A l’aide de l’encadrement: \(1≤e^{x}≤e\) valable sur l’intervalle [0,1].
montrer que pour tout entier n≥1 on a:
\(\frac{1}{(n+1)!}≤I_{n}≤\frac{e}{(n+1)!}\)
c) Montrer que la suite \(I_{n}\) est convergente et déterminer sa limite.
2) a) Calculer \(I_{0}\). puis \(I_{1}\) à l’aide d’une intégration par parties.
b) Établir, en intégrant par parties, que pour tout entier n≥1, on a:
\(I_{n-1}-I_{n}=\frac{1}{n!}\) ①
3. On pose, pour tout entier \(n≥1:\)
\(J_{n}=1+\frac{1}{1!}+…+\frac{1}{n!}\)
a) En utilisant les relations ①,
exprimer \(J_{n}\) à l’aide de \(I_{0}\) et \(I_{n}\)
b) En déduire la limite \(J\) de la suite \((J_{n})\)
c) Justifier l’encadrement:
\(\frac{1}{(n+1)!}≤J-J_{n}≤\frac{e}{(n+1)!}\)
📑 Polynésie 1991
Dans cet exercice, on se propose d’encadrer l’intégrale:
\(K=\int_{0}^{1} \frac{e^{-x^{2}}}{1+x} dx\)
1). En étudiant les variations des fonctions:
\(g: x➝e^{-x}+x-1 { et } h: x➝1-x+\frac{x^{2}}{2}-e^{-x}\)
sur l’intervalle \([0,1]\).
démontrer que pour tout \(x\) de \([0,1]\).
\(1-x≤e^{-x}≤1-x+\frac{x^{2}}{2}\) ①
2). Déduire de ①.
un encadrement de \(e^{-x^{2}}\) pour x élément de [0,1],
puis montrer que pour tout \(x\) de [0,1]:
\(1-x≤\frac{e^{-x^{2}}}{1+x}≤1-x+\frac{x^{4}}{2(1+x)}\) ②
3). a) Montrer que pour tout \(x\) de [0,1]:
\(\frac{x^{4}}{1+x}=x^{3}-x^{2}+x-1+\frac{1}{1+x}\)
b) Déduire alors de ② que:
\(\frac{1}{2}≤K≤\frac{5}{24}+\frac{\ln 2}{2}\)
Donner une valeur approchée de \(K\) à \(3×10^{2}\) près.
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