Exercices Arithmétiques Bac 2 Sciences Mathématiques Série 2

? Exercice 13 :
On considère l’équation (E) : 8x + 5y = 6
1) a) Montrer que (2-2) est une solution de (E).
b) Résoudre dans Z l’équation (E).
2) Soit (x,y) une solution de (E) et d = x∧y
a) Quelles sont les valeurs possibles de d ?
b) Déterminer les couples (x,y) solutions de (E) pour lesquels d = 3
3) On considère le système (S):
$\{\begin{array}{l}n\equiv 2[5]\\ n\equiv -2[8]\end{array}$ où n est un entier.
a) Montrer que n est une solution de (S) si et seulement si n ≡ 22 [40].
b) Étudier suivant les valeurs de l’entier naturel n (n≥3),
le reste modulo 40 de ${22}^n$
c) Déterminer le reste modulo 5 de 2022 et le reste modulo 8 de 2022.
d) En déduire que:
l’entier (${2022}^{2017}$- 32)est divisible par 40.

? Exercice 14 :
Soit a un entier naturel non nul tel que : a∧10 = 1
1) a) Montrer que a est impair.
En déduire que $a^8\equiv 1[2]$.
b) Montrer que a est non divisible par 5 et que $a^4\equiv 1[5]$.
c) En déduire que $a^8\equiv 1[10]$.
2) a) Montrer que pour tout entier naturel k , $a^{{8.10}^k}\equiv 1[{10}^{k+1}]$.
En déduire que $a^{800000001}\equiv a[{10}^9]$.
b) En déduire qu’il existe un entier naturel x tel que:
l’écriture décimal de $x^3$ se termine par le nombre 23456789.
3) Soit N = ${2017}^{801}+{2017}^{8000}$.
Déterminer les trois derniers chiffres de N.

? Exercice 15 :
On pose a = $7^{2009}+7^{2010}+7^{2011}$.
1) Soit n un entier naturel ,
discuter suivant les valeurs de n, le reste de $7^n$ modulo 100.
2) En déduire qu’il existe un entier naturel k tel que a = 100k-1.
3) a) En utilisant la formule du binôme, montrer que a $a^{100}\equiv 1[1002]$.
b) Déterminer les quatre derniers chiffres de $a^{100}$.

? Exercice 17 :
1) Soit a un entier tel que $a\equiv 1[10]$
a) Montrer que $a^9+a^8+a^7+\dots +a+1\equiv 0[100]$.
b) En déduire que $a^{10}\equiv 1[100]$.
On pourra utiliser l’égalité:
$(a^{10}-1)=(a-1)(a^9+a^8+\dots +a+1)$.
2) Soit b un entier.
a) Déterminer les restes possibles de $b^4$ dans la division euclidienne par 10.
b) En déduire que $b^4\equiv 1[10]$ si et seulement si b est premier avec 10.
3) Soit b un entier premier avec 10.
a) Montrer que $b^{40}\equiv 1[100]$.
b) Déterminer les deux derniers chiffres de ${67}^{42}$.

? Exercice 18 :
1) Soit a un entier tel que $a\equiv 1[2^4]$ et $a\equiv 1[5^4]$.
Montrer que $a\equiv 1[{10}^4]$.
2) Soit $b=(9217{)}^4$.
Montrer que b ≡ 1 [5] et $b\equiv 1[2^4]$.
3) Pour tout entier naturel n , on pose $b_n=b^{5n}–1$.
4) a) Montrer que pour tout entier naturel n,
$b_{n+1}=(b_n+1{)}^5–1$.
b) En déduire que pour tout entier naturel n, $b_{n+1}=b_n^5+5b_n^4+10b_n^3+10b_n^2+5b_n$.
5) a) Montrer que
si $5^{n+1}$ divise $b_n$ alors $5^{n+2}$ divise $b_n^5$.
b) Montrer, par récurrence, que
pour tout entier naturel n, $b_n\equiv 0[5^{n+1}]$.
6) a) Montrer que $(9217{)}^{500}\equiv 1[625]$.
b) Montrer que $(9217{)}^{500}\equiv 1[10000]$.
c) Trouver un entier dont le cube est congru à 9217 (mod 10000).

? Exercice 19 :
1) a) Montrer que, pour tout n∈IN , on a : $7^{4n}-1$ est divisible par 5.
b) Déterminer, pour tout entier n∈{0,1,2,3,4} le reste modulo 5 de $7^n$.
c) En déduire que l’entier $2\times 7^{2017}+{49}^{2016}$ est divisible par 5.
2) a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n
et pour tout entier q, on a :
$(1-q^{n+1}=(1-q)(1+q+q^2+\dots +q^n)$.
b) On pose, pour tout n∈IN,
$S_n=\sum _{k=0}^{k=n}{7}^k$.
Montrer que $S_n$ divise $7^{n+1}-1$.
3) a) Déterminer, pour tout n∈IN, le chiffre des unités de $7^{4n+1}$.
b) Soit x un entier, montrer l’équivalence :
6x ≡ 0 [10]. si et seulement si x ≡ 0 [10] ou x ≡ 6 [10].
c) Montrer que $S_{100}$ est un entier impair.
d) En déduire le chiffre des unités de $S_{100}$.