Exercices Arithmétiques Bac 2 Sciences Mathématiques Série 2

📑 Exercice 13 :
On considère l’équation (E) : 8x + 5y = 6
1) a) Montrer que (2-2) est une solution de (E).
b) Résoudre dans Z l’équation (E).
2) Soit (x,y) une solution de (E) et d = x∧y
a) Quelles sont les valeurs possibles de d ?
b) Déterminer les couples (x,y) solutions de (E) pour lesquels d = 3
3) On considère le système (S):
\(\left\{\begin{array}{l} n ≡ 2 [5] \\ n ≡ -2 [8] \end{array}\right.\) où n est un entier.
a) Montrer que n est une solution de (S) si et seulement si n ≡ 22 [40].
b) Étudier suivant les valeurs de l’entier naturel n (n≥3),
le reste modulo 40 de \(22^{n}\)
c) Déterminer le reste modulo 5 de 2022 et le reste modulo 8 de 2022.
d) En déduire que:
l’entier (\(2022^{2017}\)- 32)est divisible par 40.

📑 Exercice 14 :
Soit a un entier naturel non nul tel que : a∧10 = 1
1) a) Montrer que a est impair.
En déduire que \(a^{8} ≡ 1 [2]\).
b) Montrer que a est non divisible par 5 et que \(a^{4} ≡ 1 [5]\).
c) En déduire que \(a^{8} ≡ 1 [10]\).
2) a) Montrer que pour tout entier naturel k , \(a^{8.10^{k}}≡ 1 [10^{k+1}] \).
En déduire que \(a^{800000001} ≡ a [10^{9}]\).
b) En déduire qu’il existe un entier naturel x tel que:
l’écriture décimal de \(x^{3}\) se termine par le nombre 23456789.
3) Soit N = \(2017^{801}+2017^{8000}\).
Déterminer les trois derniers chiffres de N.

📑 Exercice 15 :
On pose a = \(7^{2009}+7^{2010}+7^{2011}\).
1) Soit n un entier naturel ,
discuter suivant les valeurs de n, le reste de \(7^{n} \) modulo 100.
2) En déduire qu’il existe un entier naturel k tel que a = 100k-1.
3) a) En utilisant la formule du binôme, montrer que a \(a^{100}≡ 1 [1002]\).
b) Déterminer les quatre derniers chiffres de \(a^{100}\).

📑 Exercice 17 :
1) Soit a un entier tel que \(a ≡ 1 [10]\)
a) Montrer que \(a^{9}+a^{8}+a^{7}+…+a+1 ≡ 0 [100]\).
b) En déduire que \(a^{10} ≡ 1 [100]\).
On pourra utiliser l’égalité:
\((a^{10}-1)=(a-1)(a^{9}+a^{8}+…+a+1)\).
2) Soit b un entier.
a) Déterminer les restes possibles de \(b^{4}\) dans la division euclidienne par 10.
b) En déduire que \(b^{4} ≡ 1 [10]\) si et seulement si b est premier avec 10.
3) Soit b un entier premier avec 10.
a) Montrer que \(b^{40} ≡ 1 [100]\).
b) Déterminer les deux derniers chiffres de \(67^{42}\).

📑 Exercice 18 :
1) Soit a un entier tel que \( a ≡ 1 [2^{4}] \) et \( a ≡ 1 [5^{4}] \).
Montrer que \( a ≡ 1 [10^{4}] \).
2) Soit \(b = (9217)^{4}\).
Montrer que b ≡ 1 [5] et \(b ≡ 1 [2^{4}] \).
3) Pour tout entier naturel n , on pose \( b_{n} =b^{5n} – 1 \).
4) a) Montrer que pour tout entier naturel n,
\( b_{n+1} =(b_{n}+1)^{5} – 1 \).
b) En déduire que pour tout entier naturel n, \( b_{n+1} =b_{n}^{5}+5b_{n}^{4}+10b_{n}^{3}+10b_{n}^{2}+5b_{n} \).
5) a) Montrer que
si \( 5^{n+1}\) divise \(b_{n} \) alors \( 5^{n+2}\) divise \(b_{n}^{5} \).
b) Montrer, par récurrence, que
pour tout entier naturel n, \(b_{n} ≡ 0 [5^{n+1}]\).
6) a) Montrer que \( (9217)^{500} ≡ 1 [625] \).
b) Montrer que \((9217)^{500} ≡ 1 [10000] \).
c) Trouver un entier dont le cube est congru à 9217 (mod 10000).

📑 Exercice 19 :
1) a) Montrer que, pour tout n∈IN , on a : \(7^{4n} -1\) est divisible par 5.
b) Déterminer, pour tout entier n∈{0,1,2,3,4} le reste modulo 5 de \(7^{n} \).
c) En déduire que l’entier \(2×7^{2017}+49^{2016} \) est divisible par 5.
2) a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n
et pour tout entier q, on a :
\((1-q^{n+1}=(1-q)(1+q+q^{2}+…+q^{n})\).
b) On pose, pour tout n∈IN,
\(S_{n}=\sum_{k=0}^{k=n} 7^{k} \).
Montrer que \(S_{n} \) divise \(7^{n+1}-1 \).
3) a) Déterminer, pour tout n∈IN, le chiffre des unités de \(7^{4n+1}\).
b) Soit x un entier, montrer l’équivalence :
6x ≡ 0 [10]. si et seulement si x ≡ 0 [10] ou x ≡ 6 [10].
c) Montrer que \(S_{100} \) est un entier impair.
d) En déduire le chiffre des unités de \(S_{100} \).