On pose A=\(7^{^{7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}}}\)
1) a Montrer que pour tout entier n, \(7^{2n+1}-3\) est divisible par 4.
b) Discuter, suivant les valeurs de l’entier naturel n,
le reste de \(7^{n}\) modulo 10.
c) En déduire le chiffre des unités de A.
2) a Recopier et compléter le tableau suivant :
📑 Exercice 22 :
1) Soit n un entier naturel
a) Déterminer les restes possibles de \(5^{n}\) modulo 11
b) Déterminer le reste modulo 11 de \(2018^{17}\)
2) Pour tout entier n ,on pose a=2n+5 et b=n-3
a) Montrer que:
b) En déduire, suivant n, la valeur de aΛb
c) Déterminer alors \((2(2018^{17}+5))^(2018^{17}-3)\).
3) Soit un entier n≥4,
On suppose que (E) admet une solution entière notée a.
a) Montrer que a ≡ 1 [2].
b) En déduire que \(a^{2} + 9 ≡ 2 [4]\).
c) Montrer que (E) n’admet pas de solution entières.
📑 Exercice 23 :
1) On considère l’équation (E) : 109x-226y = 1 où x et y sont des entiers relatifs .
a) Vérifier que (141;68) est une solution particulière de (E).
b) Résoudre dans Z² l’équation (E).
c) En déduire qu’il existe un unique entier naturel non nul d inférieur ou égal à 226
et un unique entier naturel non nul e tels que 109d =1+226e.
(On précisera les valeurs des entiers d et e).
2) Démontrer que 227 est un nombre premier
3) On note A l’ensemble des 227 entiers naturels a tels que a≤226.
On considère les deux fonctions f et g de A dans A définies de la manière suivante :
à tout entier a de A, \( f(a) ≡a^{109} [227]\).
à tout entier a de A , \(g(a) ≡ ^{141}[227]\).
a) Vérifier que g[f(0)] ≡ 0 [227].
b) Montrer que pour tout entier naturel non nul a de A , \(a^{226 } ≡1 [227]\).
c) En utilisant 1.c) ,
en déduire que pour tout entier non nul a de A , g[(f(a)] ≡ a[227].
📑 Exercice 24 :
Partie A:
On considère dans Z² l’équation (E) : 5x-26y=2
1) Montrer que:
si (x;y) est une solution de (E) alors x ∧ y = 1 ou x ∧ y=2
2) Résoudre dans Z² l’équation (E).
3) En déduire les solutions de l’équation (E) tel que x ∧ y=1
Partie B:
Pour coder un message, on procède de la manière suivante:
à chacune des 26 lettres,
on commence par associer un entier n de l’ensemble Ω ={0; 1; ; 24;25}
selon le tableau suivant:
on associe à tout entier n de Ω le reste de la division euclidienne de (a×n+b) par 26;
ce reste est alors associé à la lettre correspondante.
Exemple: pour coder la lettre P avec a=2 et b=3,
on procède de la manière suivante:
•étape 1: on lui associe l’entier n = 15
•étape 2: le reste de la division euclidienne de 2×15+3=33 par 26 est 7.
•étape 3: on associe 7 à H. Donc P est codé par la lettre H.
1) Que dire alors du codage obtenu lorsque on prend a = 0.
2) Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l’on prend a = 13.
3) Dans la suite de l’exercice, on prend a = 5 et b=2.
a) On considère deux lettres de l’alphabet associées respectivement aux entiers n et p.
Montrer que si 5n+2 et 5p+2 ont le même reste dans la division euclidienne par 26,
alors n-p est un multiple de 26. En déduire que n = p.
b) Coder le mot BAC
4) On se propose de décoder la lettre E.
a) Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l’élément n de Ω tel que:
5n- 26y = 2 où y est un entier.
b) On considère l’équation 5x-26y = 2, avec x et y entiers relatifs.
Donner une solution particulière de l’équation: 5x-26y = 2
Résoudre alors l’équation 5x-26y = 2
En déduire qu’il existe un unique couple (x;y) solution de l’équation précédente,
avec 0≤x≤25.
c) Décoder alors la lettre E.
📑 Exercice 25 :
Soit A l’ensemble des entiers naturels de l’intervalle [1,46].
1) On considère l’équation (E) : 23x+47y = 1, (x;y)∈Z².
a) Donner une équation particulière (x0;y0) de (E) .
b) Déterminer l’ensemble des solutions de (E).
c) En déduire qu’il existe un unique entier x∈A tel que 23x ≡ 1[47] .
2) Soient a et b deux entiers relatifs.
a) Montrer que si ab ≡ 0 [47] alors a≡ 0 [47] ou b≡ 0[47].
b) En d´déduire que si a²≡ 1[47] alors a≡ 1[47] ou a ≡ -1[47].
3) a) Montrer que pour tout p∈A il existe q∈Z tel que pq≡ 1[47] .
Pour la suite,
on admet que pour tout p∈A,il existe un unique entier , noté inv(p)
appartenant à A tel que : p×inv(p)≡ 1[47] .
b) Quels sont les entiers p de A qui vérifient p=inv(p)?
c) Montrer que 46! ≡ -1[47] .
Soit l’équation (E) : x²(x²+7)= y(2x+y) ; (x;y) ∈ IN*².
et Soit δ= x∧y et on pose x=δa; y=δb.
1) On suppose que (x;y) est une solution de (E) .
a) Vérifier que: a²(δ²a²+7)= b(2a+b) .
b) En déduire qu’il existe un entier relatif k tel que :
\(\left\{\begin{array}{l} δ²+a²+7=kb \\ 2a+b=ka² \end{array}\right.\)
c) Montrer que a=1.
d) En déduire que (1+b)²=8+δ².
2) Résoudre dans N² l’équation (E).
📑 Exercice 27 :
1) Résoudre dans Z×Z l’équation (E): 3x-2y=1.
2) Soit n un entier naturel.
a) Montrer que (14n+3;21n+4) est une solution de (E) .
b) En d´déduire que (21n+4)∧(14n+3) = 1.
3) Soit d = (2n+1)∧ (21n + 4) .
a) Montrer que d=1 ou d=13.
b) Montrer que n ≡ 6[13]⇔d = 13.
4) Soit n un entier naturel supérieur ou ´égal à 2.
On pose A=21n²-17n-4 et B = \(28n^{3}-8n^{2}-17n-3\).
a) Montrer que (n-1)/A et (n-1)/B.
b) En déduire suivant n : A∧B
📑 Exercice 28 :
Partie A:
Soit p un entier premier supérieur ou égal 5.
1) Montrer que: p² ≡ 1[3].
2) a) Montrer qu’il existe un entier naturel q tel que : p²-1 = 4q (q+1).
b) En déduire que: p² ≡ 1[8].
c Montrer que : p² ≡ 1[24].
Partie B :
1) Montrer que : a² ≡ 1[24] .
2) Existe -t-il des entiers naturels \(a_{1}\),\(a_{2}\),…\(a_{23}\) tel que :
∀k∈{1; 2; 3;… ;23} , \(a_{k}\)∧24 = 1 et \(\sum_{k=1}^{k=23} a_{k}^{2}\)= 23997.
📑 Exercice 29 :
Soit (E): 3x-21y=78.
1) Montrer que (E) admet des solutions.
2) Montrer que si (x;y) est une solution de (E) alors x ≡ 5[7] .
3) a) Déterminer suivant n le reste de la division euclidienne de \(5^{n}\) par 7.
b) Déterminer tous les couples d’entiers naturels (x;y) qui sont solutions de (E)
et vérifient \(5^{x}+5^{y}\) ≡ 3[7].
📑 Exercice 30 :
Soit (S):\(\left\{\begin{array}{l} n ≡ 13[19] \\ n ≡ 6[12] \end{array}\right.\)
19u+12v=1.
b) Montrer que N=13×12v+6×19u est une solution de (S) .
2) a) Soit \(n_{0}\) une solution de (S).
b) Montrer que:
\(\left\{\begin{array}{l} n ≡ n_{0} [19] \\ n ≡ n_{0} [12] \end{array}\right.\) ⇔ \(n ≡ n_{0} [12×19]\).
b) En déduire l’ensemble des solutions de (S) ( utiliser 2.b).
Exercices Arithmétiques Bac 2 Sciences Mathématiques Série 3