Exercices Arithmétiques Bac 2 Sciences Mathématiques Série 4

$Exercices Arithmétiques Bac 2$

Exercices Arithmétiques Bac 2 Sciences Mathématiques

Série 4

? Exercice 31

Soit (S):

{\begin{cases} x \equiv a [p] \\ x \equiv b [q] \end{cases}

Tel que (a;b;p;q)∈

Z^{4}

et p∧q=1.
1) a) Montrer qu’il existe

u_{0}

;

v_{0}

∈Z²
solution de

p u_{0} + q v_{0} = 1

.
b) Montrer que x0=bpu0+aqv0 est une solution de (S) .
2) Soit x une solution de (S). Montrer que pq |

(x - x_{0})

.
3) Soit x un entier relatif tel que pq |

(x - x_{0})

.
Montrer que x est une solution de (S) .
4) En déduire l’ensemble des solutions de (S) .
5) Résoudre dans Z le système
(S′):

{\begin{cases} x \equiv 1 [8] \\ x \equiv 3 [13] \end{cases}

? Exercice 32

Soit x un entier relatif tel que $10^{x} \equiv 2 [19]$ .
1) a Montrer que $10^{x + 1}$ ≡ 1 [19]\).
b) Montrer que $10^{18}$ ≡ 1 [19]\).
2) Soit d = 18Λ(x + 1) .
a) Montrer que $10^{d} \equiv 1 [19]$ .
b) Montrer que d=18.
c) En déduire que x ≡ 17[19] .

? Exercice 33

Soit (E) : 143x-195y = 52; (x;y)∈Z².
1) a Montrer que (E) admet des solutions.
b) Sachant que (-1;-1) est une solution particulière de (E),
déterminer l’ensemble des solutions de (E).
2) Soit n un entier naturel non nul tel que nΛ5 = 1.
Montrer que $n^{4 k}$ ≡ 1[5], 8k ∈ IN.
3) Soient x et y deux entiers naturels non nuls tel que x ≡ y [4].

a) Montrer que

n^{x} \equiv n^{y} [5]

, ∀n∈IN.
b) En déduire que

n^{x}

n^{y}

[10], ∀n∈IN.
4) Soient x et y deux entiers naturels non nuls
tel que (x;y) est une solution de (E) .
Montrer que pour tout n ∈ IN*,
les entiers

n^{x}

n^{y}

ont le même chiffre d’unité dans la base 10.

? Exercice 34

1) Soit dans Z l’équation (E): 1436x-2015y = 1.
a) Montrer que l’ensemble des solutions de (E)
sont les couples (2015k-964,1436k-687), k∈Z.
b) Déterminer l’ensemble des inverses de 1436 modulo 2015.
c) Déterminer le plus petit inverse positif u de 1436 modulo 2015.
2) Soit n un entier naturel tel que : $n^{1439} \equiv 1436 [2015]$ .
a) Soit d un diviseur commun de n et 2015, Montrer que d divise 1436.
b) En déduire que n et 2015 sont premiers entre eux.
3) a) En utilisant le théorème de Fermat, prouver que:
$n^{1440} - 1$ est divisible par chacun des nombres 5,13 et 31.
b) En déduire que $n^{1440} \equiv 1 [2015]$ .
c) Montrer, alors que:
1051 est le reste de la division euclidienne de n par 2015.

? Exercice 35

Répondre par Vrai ou Faux, en justifiant la réponse.
1 Le quotient de -2012 par -11 est égal à 182.
2) $3^{2010} + 3^{2011} + 3^{2012} \equiv 2 [10]$ .
3) Pour tout entier x: x(2x + 1) ≡ 3[5] ⇔ x ≡ 1[5].
4) Pour tout entier naturel n;
on a: $\frac{1}{3} (5 \times 4^{n} - 2)$ est un entier.

5) Pour tout entier naturel n;
on a: 3

5^{2 n + 1}

2^{3 n + 1}

est multiple de 17.
6)

2012^{2012} + 2013^{2013} + 2014^{2014} \equiv 0 [5]

.
7) Pour tout entier x;
on a:

x^{2} - 2 x + 1 \equiv 9 [10] \Leftrightarrow x \equiv 4 [10]

? Exercice 36

1) soit n∈IN,
déterminer en fonction de n le reste modulo 7 de $2^{n}$ et $3^{n}$ .
2) En déduire les valeurs de n
pour lesquelles $2^{n}$ + $3^{n}$ est divisible par 7.
3) Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de
A = $30^{2007}$ + $353^{2007}$ + $225^{2007}$ .

? Exercice 37

1) a Déterminer suivant l’entier naturel n
les restes possibles de $5^{n}$ modulo 6.
b) En déduire le reste modulo 6 de l’entier $2009^{2008}$
2) a) Montrer que pour tout n∈IN,
on a: $5^{n}$ $2^{n}$ + $3^{n}$ [6]
b) En déduire que 8p ∈ IN, on a:
B = $2005^{p}$ + $2006^{2009}$ + $2007^{2009}$ 20072009 est divisible par 6.
3) Résoudre dan Z l’équation : x²+x+4 ≡ 0 [6].

? Exercice 38

Pour tout entier naturel n,
on pose $a_{n} = n {.7}^{n} + (n + 1) 7^{n + 1} + (n + 2) 7^{n + 2}$ .
1) Déterminer, suivant l’entier naturel n,
le reste modulo 19 de $7^{n}$ .
2) En déduire, suivant l’entier naturel n,
le reste modulo 19 de $a_{n}$ .
3) a) Soit p un entier naturel tel que: p ≡ 0[3].
Montrer que: $a_{p} + a_{p + 1} + a p + 2$ est divisible par 19.
b) En déduire le reste modulo 19 de $\sum_{i = 0}^{i = 100} a_{i}$ .

? Exercice 39

Soit m et n deux entiers naturels non nuls qui vérifient la relation (F):
$7^{n} - 3 \times 2^{m} = 1$ .
1) On suppose que m ≤4.
Déterminer tous les couples (m;n) qui vérifient (F).
2) On suppose que m ≥5.
a) Montrer que si (m;n) vérifie (F) alors $7^{n} \equiv 1 [32]$ .
b) Montrer que si (m;n) vérifie (F) alors n est un multiple de 4.
c) En déduire que si (m;n) vérifie (F) alors $7^{n} \equiv 1 [5]$ .
d) En déduire qu’il n’existe aucun couple (m;n) qui vérifie (F).

? Exercice 40

1) a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel p,
on a: $2^{3 p} - 1$ est un multiple de 7.
b) En déduire que $2^{3 p + 1} - 2$ est divisible par 7
et que $2^{3 p + 2} - 4$ est un multiple de 7.
2) Soit n un entier naturel.
Déterminer le reste de la division euclidienne de l’entier:
$2^{2 n} + 2^{3 n}$ par 7 dans les deux cas suivants:
a) n est un multiple de 3.
b) n n’est pas un multiple de 3.
3) Le nombre $2^{2019} + 4^{2019} + 8^{2019}$ est-il divisible par 7?