Tel que (a;b;p;q)∈\(Z^{4}\) et p∧q=1.
1) a) Montrer qu’il existe \(u_{0}\);\(v_{0}\)∈Z²
solution de \(pu_{0}+qv_{0}=1\) .
b) Montrer que x0=bpu0+aqv0 est une solution de (S) .
2) Soit x une solution de (S). Montrer que pq | \((x-x_{0})\).
3) Soit x un entier relatif tel que pq | \((x-x_{0})\).
Montrer que x est une solution de (S) .
4) En déduire l’ensemble des solutions de (S) .
5) Résoudre dans Z le système
(S′): \(\left\{\begin{array}{l} x ≡ 1[8] \\ x ≡ 3[13] \end{array}\right.\)
Soit x un entier relatif tel que \(10^{x} ≡ 2 [19]\).
1) a Montrer que\(10^{x+1}\) ≡ 1 [19]\).
b) Montrer que\(10^{18}\) ≡ 1 [19]\).
2) Soit d = 18Λ(x + 1) .
a) Montrer que \(10^{d} ≡ 1 [19]\).
b) Montrer que d=18.
c) En déduire que x ≡ 17[19] .
Soit (E) : 143x-195y = 52; (x;y)∈Z².
1) a Montrer que (E) admet des solutions.
b) Sachant que (-1;-1) est une solution particulière de (E),
déterminer l’ensemble des solutions de (E).
2) Soit n un entier naturel non nul tel que nΛ5 = 1.
Montrer que\(n^{4k}\) ≡ 1[5], 8k ∈ IN.
3) Soient x et y deux entiers naturels non nuls tel que x ≡ y [4].
b) En déduire que \(n^{x}\) \(n^{y}\) [10], ∀n∈IN.
4) Soient x et y deux entiers naturels non nuls
tel que (x;y) est une solution de (E) .
Montrer que pour tout n ∈ IN*,
les entiers \(n^{x}\) et \(n^{y}\) ont le même chiffre d’unité dans la base 10.
1) Soit dans Z l’équation (E): 1436x-2015y = 1.
a) Montrer que l’ensemble des solutions de (E)
sont les couples (2015k-964,1436k-687), k∈Z.
b) Déterminer l’ensemble des inverses de 1436 modulo 2015.
c) Déterminer le plus petit inverse positif u de 1436 modulo 2015.
2) Soit n un entier naturel tel que :\(n^{1439} ≡ 1436[2015]\).
a) Soit d un diviseur commun de n et 2015, Montrer que d divise 1436.
b) En déduire que n et 2015 sont premiers entre eux.
3) a) En utilisant le théorème de Fermat, prouver que:
\(n^{1440}-1\) est divisible par chacun des nombres 5,13 et 31.
b) En déduire que\(n^{1440} ≡ 1[2015]\).
c) Montrer, alors que:
1051 est le reste de la division euclidienne de n par 2015.
Répondre par Vrai ou Faux, en justifiant la réponse.
1 Le quotient de -2012 par -11 est égal à 182.
2) \(3^{2010}+3^{2011}+3^{2012} ≡ 2[10]\).
3) Pour tout entier x: x(2x + 1) ≡ 3[5] ⇔ x ≡ 1[5].
4) Pour tout entier naturel n;
on a: \(\frac{1}{3}(5×4^{n}-2)\) est un entier.
on a: 3 \(5^{2n+1}\) + \(2^{3n+1}\) est multiple de 17.
6) \(2012^{2012}+2013^{2013}+2014^{2014} ≡ 0[5]\).
7) Pour tout entier x;
on a: \(x^{2}-2x+1≡ 9[10] ⇔ x ≡ 4 [10]\).
1) soit n∈IN,
déterminer en fonction de n le reste modulo 7 de \(2^{n}\) et \(3^{n}\).
2) En déduire les valeurs de n
pour lesquelles \(2^{n}\)+\(3^{n}\) est divisible par 7.
3) Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de
A = \(30^{2007}\)+\(353^{2007}\)+\(225^{2007}\).
1) a Déterminer suivant l’entier naturel n
les restes possibles de \(5^{n}\) modulo 6.
b) En déduire le reste modulo 6 de l’entier \(2009^{2008}\)
2) a) Montrer que pour tout n∈IN,
on a: \(5^{n}\) \(2^{n}\)+\(3^{n}\)[6]
b) En déduire que 8p ∈ IN, on a:
B = \(2005^{p}\)+\(2006^{2009}\)+ \(2007^{2009}\)20072009 est divisible par 6.
3) Résoudre dan Z l’équation : x²+x+4 ≡ 0 [6].
Pour tout entier naturel n,
on pose \(a_{n} =n.7^{n}+(n + 1)7^{n+1} + (n + 2) 7^{n+2}\).
1) Déterminer, suivant l’entier naturel n,
le reste modulo 19 de \(7^{n}\).
2) En déduire, suivant l’entier naturel n,
le reste modulo 19 de \(a_{n}\).
3) a) Soit p un entier naturel tel que: p ≡ 0[3].
Montrer que: \(a_{p}+a_{p+1}+a{p+2}\) est divisible par 19.
b) En déduire le reste modulo 19 de\(\sum_{i=0}^{i=100}a_{i}\).
Soit m et n deux entiers naturels non nuls qui vérifient la relation (F):
\(7^{n}-3×2^{m} = 1\).
1) On suppose que m ≤4.
Déterminer tous les couples (m;n) qui vérifient (F).
2) On suppose que m ≥5.
a) Montrer que si (m;n) vérifie (F) alors \(7^{n} ≡ 1 [32]\).
b) Montrer que si (m;n) vérifie (F) alors n est un multiple de 4.
c) En déduire que si (m;n) vérifie (F) alors \(7^{n} ≡ 1 [5]\).
d) En déduire qu’il n’existe aucun couple (m;n) qui vérifie (F).
1) a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel p,
on a: \(2^{3p} – 1\) est un multiple de 7.
b) En déduire que \(2^{3p+1} – 2\) est divisible par 7
et que \(2^{3p+2} – 4\) est un multiple de 7.
2) Soit n un entier naturel.
Déterminer le reste de la division euclidienne de l’entier:
\(2^{2n}+2^{3n}\) par 7 dans les deux cas suivants:
a) n est un multiple de 3.
b) n n’est pas un multiple de 3.
3) Le nombre\(2^{2019}+4^{2019}+8^{2019}\) est-il divisible par 7?