Sujet Bac Ancien Exercices études des fonctions PDF terminale S n° 1
📑 C.1 Nantes 1997
Dans tout le problème, on se place dans un repère orthonormal \((O ; \vec{i}, \vec{j}) .\)
L’unité graphique est 2 centimètres.
PARTIE A
Etude d’une fonction \(g\)
Soit \(g\) la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par: g(x)=xlnx-x+1
et \(C\) sa courbe représentative dans le repère \((O ;\vec{i},\vec{j})\)
1. Etudier les limites de \(g\) en 0 et en +∞.
2. Etudier les variations de \(g\).
En déduire le signe de \(g(x)\) en fonction de x.
3. On note \(C ‘\) la représentation graphique de la fonction
x➝lnx dans le repère \((O ; \vec{i}, \vec{j}).\)
Montrer que \(C\) et \(C’\) ont deux points communs d’abscisses respectives 1 et e.
et que, pour tout élément \(x\) de \([1 ; e]\), on a :
\(x lnx-x+1≤lnx\)
On ne demande pas de représenter \(C\) et \(C ‘\)
a) Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale:
\(J=\int_{1}^{e}(x-1) lnx dx\)
b) Soit \(Δ\) le domaine plan définie par:
Δ={M(x,y); 1≤x≤e et g(x)≤y≤lnx}.
Déterminer en cm² l’aire de \(Δ\).
Donner une valeur décimale approchée à \(10^{-2}\) près de cette aire.
PARTIE B
Etude d’une fonction \(f\) Soit \(f\) la fonction définie sur ] 1 ;+∞[ par:
\(f(x)=\frac{1}{x-1} lnx\)
1. Etudier les limites de \(f\) en +∞ et en 1.
Pour l’étude de la limite en 1 , on pourra utiliser un taux d’accroissement.
2. Déterminer le tableau de variation de \(f\).
On pourra remarquer que \(f ‘(x)\) s’écrit facilement en fonction de \(g(x)\)
3. Tracer la courbe représentative de \(f\) dans le repère \((O ; \vec{i}, \vec{j})\).
PARTIE C
Etude de l’équation \(f(x)=\frac{1}{2}\)
1. Montrer que l’équation \(f(x)=\frac{1}{2}\)
admet une unique solution notée \(α\) et que 3,5<α<3,6.
Soit \(h\) la fonction définie sur ]1 ;+∞[ par:
\(h(x)=lnx+\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}\)
a) Montrer que \(αα\) est solution de l’équation \(h(x)=x\)
b) Etudier le sens de variation de \(h\)
c) On pose \(I=[3;4] .\)
Montrer que, pour tout élément de \(I\),
on a \(h(x) ∈ I\) et \(|h ‘(x)|≤\frac{5}{6}\)
3. On définit la suite \((u_{n})\) par:
\(u_{0}=3\) et pour tout n≥0, \(u_{n+1}=h(u_{n})\)
Justifier successivement les trois propriétés suivantes:
a) Pour tout entier naturel n,
\(|u_{n+1}-α|≤\frac{5}{6}|u_{n}-α|\)
b) Pour tout entier naturel n.
\(|u_{n}-α|≤(\frac{5}{6})^{n}\)
c) La suite \((u_{n})\) converge vers α.
Donner un entier naturel p, tel que des majorations précédentes
on puisse déduire que \(u_{n}\) est une valeur approchée de α à \(10^{-3}\) prés.
Indiquer une valeur décimale approchée à \(10^{-3}\) prés de α.
📑C.2 GroupeIbis 1997
Partie I
Soit la fonction \(φ\) définie dans IR par \(φ(x)=e^{x}+x+1\).
1. Etudier le sens de variation de \(φ\) et ses limites en +∞ et en -∞.
2. Montrer que l’équation \(φ(x)=0\) a une solution et une seule \(α\)
et que l’on a: \(-1,28<α<-1,27\).
3. En déduire le signe de \(φ(x)\) sur IR.
Partie II
Soit la fonction \(f\) définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{x e^{x}}{e^{x}+1}\)
et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal
\((0 ; \vec{i}, \vec{j})\) du plan ( unité graphique: 4cm).
1. Montrer que:
\(f ‘(x)=\frac{e^{x} φ(x)}{(e^{x}+1)^{2}}\)
En déduire le sens de variation de \(f\).
2. Montrer que \(f(α)=α+1\)
et en déduire un encadrement de \(f(α)\).
3. Soit \(T\) la tangente a \((C)\) au point d’abscisse \(0 .\)
Donner une équation de \(T\) et etudier la position de \((C)\) par rapport a \(T\).
Chercher les limites de \(f\) en +∞ et en -∞.
Démontrer que la droite \(D\) d’équation y=x est asymptote a \((C)\)
et étudier la position de \((C)\) par rapport a \(D\).
5. Faire le tableau de variation de \(f\).
6. Tracer sur un même dessin \((C), T\) et \(D\).
La figure demandée fera apparaître les points de \((C)\)
dont les abscisses appartiennent a \([-2;4]\).
Partle III
On considère la fonction \(g\) définie sur [0,1] par:
\(g(x)=\ln (1+e^{x})\)
On note \((L)\) la courbe représentative de \(g\) dans le repère \((O ; \vec{i}, \vec{j})\) ,
I le point defint par \(\overrightarrow{OI}=\vec{i}\),
A le point d’abscisse 0 de \((L)\) et B son point d’abscisse 1.
1. Etudier brièvement les variations de \(g\).
2. Donner une équation de la tangente en A à \((L)\).
3. On note \(P\) l’intersection de cette tangente avec le segment \([IB]\).
Calculer les aires des trapèzes OIPA et OIBA.
On admet que la courbe ( \(L\) ) est située entre les segments \([AP]\) et \([AB]\).
Montrer alors que:
\(ln 2+\frac{1}{4}≤\int_{0}^{1} g(x) dx≤ln\sqrt{2(1+e)}\).
5. Au moyen d’une intégration par parties, justifier que:
\(int_{0}^{1} f(x) d x=ln (1+e)-\int_{0}^{1} g(x) d x\).
6. En déduire un encadrement de\(\int_{0}^{1} f(x) dx\).
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Sujet Bac Ancien Exercices études des fonctions PDF terminale S n° 1