Sujet Bac Ancien Exercices Nombres complexes PDF terminale S n° 2

Sujet Bac Ancien Exercices Nombres complexes PDF terminale S

📑 Japon 1997

On considère le plan complexe \(P\)

muni d’un repere orthonormal direct

\((O;\vec{e}_{t}, \vec{e}_{2})\).

Soit le polynôme \(P\) tel que pour tout \(z\) de ℂ.

\(P(z)=z^{3}-4 z^{2}+6 z-4\)

1). Déterminer les réels u et v tels que: \(P(z)=(z-2)(z^{2}+u z+v)\)

et résoudre dans ℂ l’équation P(z)=0.

2). On note α la solution de l’équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et β le conjugué de α.

Soient A, B et C les points d’affixes respectives α, β et 2, I le milieu de [AB]

et \(r\) la rotation de centre O et d’angle \(\frac{π }{2}\).

Déterminer l’affixe du point \(r(B)\) et en déduire la nature du quadrilatère OACB.

3. Soit \(f\) l’application de \(P\) privé du point C dans \(P\)

qui au point \(M\) d’affixe \(z(z≠2\)) associe le point \(M ‘\) d’affixe \(z ‘\)

défini par: \(z ‘=\frac{z-(1+i)}{z-2}\).

a) Déterminer \(f(A)\) et \(f(B)\) Déterminer le point E tel que f(E)=C.

b) Quelles distances représentent les réels \(|z-(1+i)|\) et \(|z-2| ?\).

En déduire que si \(M\) appartient à la médiatrice de [AC],

\(M ‘\) appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

📑 La Réunion 1996

1. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes les équations suivantes:

a) \(z^{2}-2 z+5=0\).

b) \(z^{2}-2(1+\sqrt{3}) z+5+2 \sqrt{3}=0\).

2. On considère dans le plan complexe

rapporté à un repère orthonormal direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\)

les points A, B,C, D d’affixes respectives:

\(z_{A}=1+2 i, z_{B}=1+\sqrt{3}+i, z_{C}=1+\sqrt{3}-i\), et \(z_{D}=1-2 i\)

a) Placer les points A,B,C,D et préciser la nature du quadrilatère ABCD.

b) Vérifier que

\(\frac{z_{D}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}=i \sqrt{3}\)

Que peut-on en déduire pour les droites \((A B)\) et \((B D) ?\)

c) Prouver que les points A,B,C,D appartiennent à un meme cercle \(\Gamma\)

dont on précisera le centre et le rayon. Tracer \(\Gamma\).

3. On considère l’équation:

\(z^{2}-2(1+2cos(Ө)z+5+4cos(Ө)=0\)

où Ө désigne un nombre réel quelconque.

a. Résoudre l’équation (1) dans C.

b. Montrer que les images des solutions appartiennent au cercle \(\Gamma\).

📑Nouvelle Calédonie 1996

Le plan complexe \(P\) est rapporté à un repère orthonormal direct

\((O, \vec{u}, \vec{v})\) (unité graphique: 2cm).

On désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et 4.

L’application \(f\) associe à tout point \(M\) d’affixe \(z\) de \(P\), distinct de \({A}\),

le point \({M}\) d’affixe \(Z\) définie par: \(Z=\frac{z-4}{z-1}\).

Soit C le point d’affixe \(i \sqrt{2}\).

Déterminer l’affixe de C ‘=f(C).

2. Démontrer que \(f\) admet deux points invariants I et J.

(On notera I celui d’ordonnée positive.) Placer les points I, J, C et C’.

3. On pose \(z=x+i y\) et \(Z=X+i Y\) avec \(x, y, X,Y\) réels.

(a) Déterminer X et Y en fonction de x et y.

(b) Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe \(z\) tels que \(Z\) soit réel.

tels que \(Z\) soit imaginaire pur.

4. Donner une interprétation géométrique de \(|Z|,|z-4|,|z-1|\).

En déduire l’ensemble D des points M d’affixe \(z\) tels que \(|Z|=1\) Construire D.

📑Sportifs de haut niveau 1996

1. a)

i. Résoudre dans C l’équation suivante:

\(z^{2}-6 \cos (\frac{π }{6}) z+9=0\)

On notera \(z_{1}\) et \(z_{2}\) les solutions trouvées,

\(z_{1}\) étant la solution de partie imaginaire positive.

ii. Déterminer le module et un argument de \(z_{1}\) et de \(z_{2}\),

et donner l’écriture exponentielle de \(z_{1}\) et de \(z_{2}\)

b) Placer dans le plan \(P\) rapporté à un repère orthonormal direct

\((0 ; \vec{u}, \vec{v})\) d’unité graphique 1cm,

les images \(M_{1}\) et \(M_{2}\) de \(z_{1}\) et \(z_{2}\).

Expliquer pourquoi \(M_{1}\) et \(M_{2}\) sont situés sur le cercle \(\Gamma\)

de centre O de rayon 3, que l’on tracera.

2. On considère la transformation du plan \(P\)

qui a tout point \(M\) d’affixe \(z\) associe le point \(M ‘\) d’affixe \(z ‘\)

tel que: \(z ‘=(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}) z\)

On considère les points \(A et \(B d’affixes

\(z_{A}=3 e^{i \bar{t}}\) et \(z_{B}=3 e^{-i \frac{z}{6}}\)

et A’ et B’ leurs images par \(f\).

(a) Montrer que \(f\) est une rotation dont on précisera le centre et l’angle.

(b) Déterminer sous forme exponentielle

les affixes \(z_{A ‘}\) et \(z_{B ‘}\) des points A’ et B’.

Placer les points A, B, A’ et B ‘ sur la figure.

Expliquer pourquoi ces points sont sur le cercle \(\Gamma\).

3. Calculer arg\((\frac{z_{A}}{z_{B}})\)

et montrer que B et A’ sont symétriques par rapport au point O.

En déduire que le triangle ABA’ est rectangle.

📑 La Réunion 1995

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé

\((O, \vec{u}, \vec{v})\); (unité graphique 4cm)

On appelle A et B les points d’affixes respectives i et – i.

A tout point M du plan d’affixe \(z\) differente de \(-i\), on associe le point \({M}\) ‘

dont l’affixe \(z ‘\) est definie par: \(z ‘=\frac{z-i}{z+i}\)

1. Calculer l’affixe \(z ‘\) du point \(M\) associé au point \(M\) d’affixe \(z=2+i .\)

Préciser le module et un argument de \(z ‘ .\)

Placer les points \({M}\) et \({M} ‘\) dans le repère \((O, \vec{u}, \vec{v})\).

2. Dans cette question, M est un point quelconque du plan distinct de B.

Montrer que \(OM ‘=\frac{MA}{MB}\).

En déduire que, lorsque \(z\) est un réel, M appartient à un cercle que l’on précisera.

3. Dans cette question, M est un point quelconque du plan distinct de B.

Aux points \(M_{1}, M_{2}\) et \(M_{3}\) d’affixes respectives \(z=\bar{z},\)

(où \(\bar{z}\) désigne le nombre conjugué de \(z\) ), \(z_{2}=-z=\) et \(z_{3}=\frac{1}{z},\)

on associe les points \(M_{1} ‘, M_{2} ‘\) et \(M_{3} ‘\) d’affixe \(z_{1} ‘, z_{2} ‘\) et \(z_{3} ‘\)

a) Montrer les relations: \(z_{1} ‘=\frac{1}{z_{1} ‘}, z_{2} ‘=\frac{1}{z}\) et \(z_{3} ‘=-\frac{1}{z}\)

Exprimer les modules et arguments de \(z_{1} ‘, z_{2} ‘\) et \(z_{3} ‘\) en fonction du module

et d’un argument de \(z ‘\).

(b) En utilisant ce qui précède, placer les points \(M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{1} ‘, M_{2} ‘\)