Exercices Corrigés Arithmétiques Bac 2 Sciences Mathématiques Série 4

Exercices Corrigés Arithmétiques dans Z

* Série 4 *

* Exercice 16 *

1 ) On considère dans Z×Z l’équation (E): 47x+53y=1.

a ) Vérifier que (-9;8) est une solution de (E).

b ) Résoudre l’équation (E).

c ) Déterminer l’ensemble des inverses de 47 ≡ [53].

d ) En déduire que 44 est le plus petit inverse positif de 47 ≡ [53].

2 ) Justifier que

45^{52} \equiv 1 [53]

b ) Déterminer alors le reste de

45^{106}

≡ [53].

3 ) Soit

N = 1 + 45 + 45^{2} + \dots + 45^{105} = \sum_{k = 0}^{k = 105} 45^{k}

a) Montrer que: 44N≡ 10[53].

a) En déduire le reste de N≡ [53].

* Exercice 17 *

(a;b) et n trois entiers naturels non nuls tels que:

a = 5 n^{2} + 7

b = n^{2} + 2

1) Montrer que tout diviseur commun de a et b divise 3.

2) Montrer que

a \land b = 3 \Leftrightarrow n^{2} \equiv 1 [3]

3) En déduire le pgcd(a;b) suivant les valeurs de n.

* Exercice 18 *

1) Étudier suivant les valeurs de l’entier naturel n

les restes possibles de

8^{n}

par 10.

2) Déterminer alors le chiffre des unités de chacun des nombres:

2^{192}

8^{341}

3) Montrer que ∀ n∈IN* on a:

3 \times 8^{4 n} + 2^{12 n + 9} = 0 [10]

* Exercice 19 *

1) ∀ n∈IN* on pose

α = 2 n^{3} - 14 n + 2

β = n + 3

a) Montrer que α∧β=β∧10.

b) Déterminer les valeurs possibles de d=β∧10.

c) Déterminer l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles α∧β=5.

2) a) Étudier suivants les valeurs de l’entier naturel n

les restes possible de

4^{n}

par b.

Déterminer l’ensemble des entiers naturels n vérifiant le système suivant:

{\begin{cases} 4^{5 n} + 4^{n} + n = 0 [11] \\ n = 2 [10] \end{cases}

* Exercice 20 *

1) Montrer que:

le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1.

2) Montrer de même que:

tout nombre pair vérifie x²=0[8] ou x²=4[8].

3) Soient a,b,c trois entiers impairs.

Déterminer le reste modulo 8 de a²+b²+c²et celui de

2 (a b + b c + c a)

4) En déduire que ces deux nombres ne sont pas des carrés

puis que ab+bc+ca non plus.

* Correction *

* Exercice 16 *

1) (E): 47 x+53y=1.

a) 47×(-9)+53×8=-423+424=1.

alors (-9;8)\) est une solution de (E).

b) On a : (-9 ; 8) est une solution de (E).

-47x+53y=47×(-9)+53×8 ⇒(47(x+9)=53(8-y).

alors 53 divise (47(x+9).

Or 53 ∧47=1.

alors d’après le lemme de Gauss 53 divise (x+9)

D’où il existe k tel que: x=53k-9.

Par conséquent 47(53k-9+9)=53(8-y).

cela signifie que: y=8-47 k.

Par la suite: si (x;y) est une solution de (E)0

alors il existe k∈Z tel que x=53k-9 et y=8-47k.

Réciproquement:

Soit k∈Z tel que x=53k-9.

et y=8-47k=47x+53 y

=47(53 k-9)+53(8-47 k)=-47×9+53×8=1.

Alors (53 k-9 ; 8-47k) est une solution de (E).

c) Si x est un inverse de 47 modulo 53

alors 47 x≡1[53].

Donc il existe un entier y tel que : 47x=1+53 y

ce qui implique que 47x+53×(-y)=1.

D’où (x;-y) est une solution de (E)

Donc x=53k-9 où k∈Z.

Réciproquement: (53k-9)47=-9×47[53]≡-9 ×(-6)[53] ≡1[53].

Ainsi: l’ensemble des inverses de 47 modulo 53 est

I={53k-9;k∈Z}.

d) 53k-9>0 ⇔

k > \frac{9}{53}

alors k ≥ 1.

Donc

53k-9 est strictement positif et minimal si et seulement si k=1.

D’où 53×1-9=44 est le plus petit inverse positif de 47 modulo 53.

2) a) 53 est un entier premier ne divisant pas 45.

alors d’après le théorème de Fermat:

45^{53 - 1} = 1153

Et par suite $45^{52} = 1 [53]$ .
b) $45^{52} = 1 [53]$
alors $(45^{52})^{2} = 1153$
⇔ $45^{104} = 11531$
⇔ $45^{106} \equiv 45^{2} [53]$
⇔ $45^{106} = (- 8)^{2} [53]$
⇔ $45^{106} = 11 [53]$

3) $N = 1 + 45 + 45^{2} + \dots + 45^{105}$
$= \sum_{k = 0}^{k = 105} 45^{k}$
$= 1. \frac{45^{106} - 1}{45 - 1}$
(somme des termes consécutifs d’une suite géométrique
de raison q=45 et de 1ér terme =1).
Alors $44 N = 45^{106} - 1$
Or $45^{106} \equiv 11 [53]$
alors $45^{106} - 1 = 10 [53]$
D’où 44 $N = 10 [53]$
b) On a :
44N=10[53] ⇔ 47×44N=470[53]
⇔ $N = 46 [53]$

* Exercice 17 *

On a:
1) Soit d un diviseur commun de a et b.

{\begin{cases} d / a \\ d / b \end{cases}

⇒ d/5b-a=3.
2)
a∧b=3 ⇔

{\begin{cases} a = 0 [3] \\ b \equiv 0 | 3 | \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 5 n^{2} + 7 = 0 [3] \\ n^{2} + 2 = 0 [3] \end{cases}

⇒

n^{2} + 2 \equiv 0 [3]

(en effectuons la différence)
⇒

4 n^{2} + 2 \equiv 0 [3]

⇒

n^{2} = - 2 [3] n^{2} \equiv 1 [3]

Réciproquement:
montrons que
si n²=1[3] alors a∧b=3
n² ≡ 1[3] ⇒ 5n²=5[3]
⇒ 5n²+7≡12[3] ⇒ a≡0[3] ⇒ 3 divise a.
n²≡1[3] ⇒ n²+2≡3[3] ⇒ b=0[3]⇒ 3 divise b.
donc a ∧ b=3.

3) PGCD(a;b) suivant les valeurs de n ?
donc
$\begin{array}{lllll} n \equiv ? & 0 & 1 & 2 & [3] \\ n^{2} = ? & 0 & 1 & 1 & [3] \end{array}$

{\begin{cases} n = 3 k \Leftrightarrow a \land b = 1 \\ n = 3 k + 10 m n = 3 k + 2 \Leftrightarrow a \land b = 3 \end{cases}

* Exercice 18 *

$8^{0} = 1 [10]; 8^{1} = 8 [10]; 8^{2} = 4 [10]$
$8^{3} = 2 [10]; 8^{4} = 6 [10]; 8^{5} = 8 [10]$
$8^{6} = 4 [10]; 8^{7} = 2 [10]; 8^{8} = 6 [10]$ .

On remarque que les restes sont périodiques sauf 1;
donc on résume:

2 ) On a:

8^{341} = 8^{4 \times 85 + 1}

donc

8^{341} \equiv 8 [10]

2 ≡ -8[10] ⇒

2^{192} \equiv (- 8)^{192} [10]

\equiv 8^{4 \times 48} [10] \equiv 6 [10]

3) On a:

8^{4 n} \equiv 6 [10]

⇒ 3 × 8^{4 n}≡18[10] ≡ 8[10]\)
et

2^{12 n + 9} \equiv 2^{3 (4 n + 3)} (10]

\equiv 8^{4 n + 3} [10] \equiv 2 [10]

Ainsi:

8^{4 n} + 2^{12 n + 9} = 8 + 2 [10] = 0 | 10 |

* Exercice 19 *

On a:
1) Soit d un diviseur commun de a et b.
${\begin{cases} d / a \\ d / b \end{cases}$

⇔ ${\begin{cases} a = 0 [3] \\ b \equiv 0 [3] \end{cases}$
1) On a: α=(2n²-6n+4)(n+3)-10=(2n²-6 n+4)β-10.
Soit d=α∧β et d’=β∧10.
${\begin{cases} d ∣ α \\ d ∣ β \end{cases}$ ⇒ ${\begin{cases} d ∣ (2 n^{2} - 6 n + 4) β \\ d ∣ β \end{cases}$
⇒ ${\begin{cases} d ∣ 10 \\ d ∣ β \end{cases}$ ⇒ $d ∣ d^{'}$

${\begin{cases} d^{'} ∣ 10 \\ d^{'} ∣ β \end{cases}$ ⇒ ${\begin{cases} d^{'} ∣ (2 n^{2} - 6 n + 4) β \\ d^{'} ∣ β \end{cases}$
⇒ ${\begin{cases} d^{'} ∣ α \\ d^{'} ∣ β \end{cases}$ ⇒ $d^{'} ∣ d$

Conclusion: d’ = d

b) $d = α \land β = β \land 10 \Rightarrow d \in D_{10}^{+} = 11; 2; 5; 10$
c) $d = 5 \Leftrightarrow 10 \land β = 5 \Rightarrow β = 5 k$ et $k$ impair
donc $β = 5 (2 p + 1) \Rightarrow n + 3 = 10 p + 5$
$ainsi n = 10 p + 2 a v e c p \in N$
Réciproquement:
on vérifie que si $n = 10 p + 2$ alors $α \land β = 5$

donc on a le tableau suivant:
$\begin{array}{ccccccc} n \equiv ? & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & [5] \\ 4^{n} = ? & 1 & 4 & 5 & 9 & 3 & [11] \end{array}$ .

b)
${\begin{cases} 4^{5 n} + 4^{n} + n = 0 [11] \\ n = 2 [10] \end{cases}$

⇔

{\begin{cases} 4^{5 n} + 4^{n} + n = 0 (11) \\ n = 10 p + 2 \end{cases}

\underset{\equiv 1 [11]}{\underset{⏟}{4^{5 (2 p + 2)}}} + \underset{\equiv 5 [11]}{\underset{⏟}{4^{5 (2 p) + 2}}} + 10 p + 2 \equiv 0 [11]

⇒ 10 p+8 ≡ 0[11] ⇒ 10 p ≡ 3[11]
⇒ -p=3[11] ⇒ p ≡ -3[11] ⇒ p ≡ 8[11]
⇒ p=11k+8 ⇒ n=10(11k+8)+2
⇒n=110 k+82 ⇒ n=82[110]

* Exercice 20 *
1) Soit n un nombre impair,
alors il s’écrit n=2p+1 avec p∈IN
Maintenant n²=(2p+1)²=4p²+4p+1=4 p(p+1)+1.
Donc n²=1[8].
2) Si n est pair alors il existe p∈IN tel que n=2p .
Et n²=4p²
*Si p est pair alors $p^{2}$ est pair
et donc n²=4p² est divisible par 8
donc n² ≡ 0[8] .
*Si p est impair alors p² est impair
et donc n²=4p² est divisible par 4 mais pas par 8.
donc n² ≡ 4[8].
3) Comme a est impair
alors d’après la première question a²≡ 1[8],
et de même c²≡ 1[8], c² ≡ 1[8].
Donc a²+b²+c²≡ 1+1+1≡ 3[8].
Pour l’autre reste,
écrivons a=2p+1. et b=2q+1, c=2r+1.
alors 2ab=2(2p+1)(2q+1)=8pq+4(p+q)+2.
Alors 2(ab+bc+ca)=8pq+8qr+8pr+8(p+q+r)+6.
donc 2(ab+bc+ca) ≡ 6[8].
4) Montrons par l’absurde que:
le nombre a²+b²+c² n’est pas le carré d’un nombre entier.
Supposons qu’il existe n∈IN tel que a²+b²+c²=n².
Nous savons que a²+b²+c²≡ 3[8]
Si n est impair alors n²≡ 1[8]
et si n est pair alors n² ≡ 0[8] ou n² ≡ 4[8].
Dans tous les cas n² n’est pas congrue a 3 modulo 8.
Donc il y a une contradiction.
La conclusion est que l’hypothèse de départ est fausse
donc a²+b²+c² n’est pas un carré.
Le même type de raisonnement est valide pour 2(ab+bc+ca).
Pour ab+bc+ca il faut raffiner un peut l’argument.
Si ab+bc+ca=n² alors selon la parité de n
nous avons 2(ab+bc+ca)=2n²=2[8] ou à 0[8].
Nous remarquons enfin que ab, bc, ca sont trois nombres impairs,
et donc leur somme est impaire.
Par conséquent n est impair (si non n² serait pair),
donc ab+bc+ca=n²≡ 1[8]
Ce qui aboutit à une contradiction.
Nous avons montrer que ab+bc+ca n’est pas un carre.

➲ Si vous souhaitez signaler une erreur merci de nous envoyer un commentaire