Baccalauréat Section Informatique Session Principal juillet 2020 Épreuve math PDF

Duré de l’épreuve: 3 heures
Exercice 1: (5 points )
Exercice 2: (4.5 points )
Exercice 3: (6 points )
Exercice 4: (4.5 points )

* Exercice 1: (5 points ) *

On considère dans ℂ l’équation (E):

\(z^{2}-(3+3i\sqrt{3})z-6+3i\sqrt{3}=0\)

1) a) Vérifier que \(i\sqrt{3}\) est une solution de l’équation (E).

b) En déduire l’autre solution de l’équation (E).

2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé

\((O,\vec{u},\vec{v})\).

On considère les points A, B et C d’affixes respectives:

\(z_{A}=i\sqrt{3}\), \(z_{B}=3+2 i\sqrt{3}\) et \(z_{c}=3-2 i \sqrt{3}\)

a) Calculer \((z_{B}-z_{A})(\overline{z_{c}-z_{A}})\)

b) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A.

3) Dans la figure de l’annexe ci-jointe, on a placé le point A.

a) Soit D le point d’affixe \(z_{0}=-3\) .

Montrer que le point A est le milieu du segment [DB]

b) Placer les points D,B\et C.

c) Montrer que l’aire du triangle DCB est égale à \(12\sqrt{3}\).

* Exercice 2: (4.5 points ) *

Une enquête effectuée dans les laboratoires d’informatique d’un lycée

équipés d’un lot d’ordinateurs de deux types D et L, achetés 5 ans plus tôt, montre que:

– 50 % d’ordinateurs sont de type D.

– 59 % d’ordinateurs de type \(D\) ont subi au moins une panne durant les 5 ans.

– 30 % d’ordinateurs de type L n’ont subi aucune panne durant les 5 ans.

On choisit au hasard un ordinateur de ce lot et on considère les événements suivants:

A : « L’ordinateur choisi est de type D ».

B : « L’ordinateur choisi est de type L »,

C : « L’ordinateur choisi a subi au moins une panne durant les 5 ans y ».

1) Déterminer \(p(C/A)\) et \(p(\overline{C}/B)\)

2) Recopier et compléter l’arbre probabiliste ci-contre :

Dans la suite de l’exercice, on donnera les résultats arrondis à \(10^{-2}\) près.

3) a) Montrer que la probabilité qu’un ordinateur n’a subi aucune panne durant les 5 ans

est 0,36

b) Déduire alors la probabilité que l’ordinateur choisi soit de type D sachant qu’il n’a

subi aucune panne durant les 5 ans.

4) La durée de vie, exprimée en années, d’un ordinateur de type D

(la duree de fonctionnement avant la première panne) est une variable

aléatoire \(X\) qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda=0,18\).

a) Montrer que:

la probabilité qu’un ordinateur de type \(D\) ne subit aucune panne avant

6 ans est 0,34

b) On veut équiper un nouveau laboratoire d’informatique d’un lot de 10 ordinateurs de type D.

Quelle est la probabilité p que, dans ce lot, l’un au moins des ordinateurs ait une

durée de vie supérieure à 6 ans?

* Exercice 3: (6 points ) *

1) Soit g la fonction définie sur IR par:

\(g(x)=1-(2 x+1) e^{-2 x}\)

a) Montrer que:

pour tout \(x \inIR, g ‘(x)=4 x e^{-2 x}\).

b) Etudier le sens de variation de \(g\)

et déduire que pour tout \(x \in \mathbb{R}, g(x) \geq 0\)

2) Soit fla fonction définie surIR par:

\(f(x)=x+1+(x+1) e^{-2 x}\)

et \((C)\) sa courbe représentative

dans un repère orthonormé\((O,\vec{i},\vec{j})\).

a) Calculer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\) et montrer que \(\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=+\infty .\) Interpréter graphiquement le résultat.

b) Montrer que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\) et que la droite \(D: y=x+1\) est une asymptote à la courbe

c) Etudier la position relative de la courbe (C) par rapport à la droite D.

3) Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=g(x)\) et dresser le tableau de variation de \(f\)

4) a) Montrer que \(A(0,2)\) est un point d’inflexion pour la courbe (C).

b) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe (C) au point A.

c) Tracer \(\mathrm{D}, \mathrm{T}\) et \((\mathrm{C})\)

5) Soit \(\alpha\) un réel strictement supérieur à (-1) .

On désigne par \(A_{\alpha}\) l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan limitée par la courbe \((\mathrm{C}),\) la

droite \(D\) et les droites d’équations \(x=-1\) et \(x=\alpha\)

a) Par une intégration par parties, montrer que \(A_{\alpha}=\frac{1}{4} \mathrm{e}^{2}-\left(\frac{1}{2} \alpha+\frac{3}{4}\right) \mathrm{e}^{-2 \alpha}\)

b) Calculer \(\lim _{\alpha \rightarrow+\infty} \mathrm{A}_{\alpha}\)

* Exercice 1: (4.5 points ) *

On considère dans l’ensemble des entiers relatifs le système ( \(\mathrm{S}\) ) : \(\left\{\begin{array}{l}\mathrm{n} \equiv 1[4] \\ \mathrm{n}=3[5]\end{array}\right.\)

1) Vérifier que 13 est une solution de ( \(S\) ).

2) a) Montrer que si n est une solution de ( \(S\) ) alors \((n-13)\) est divisible par 4 et par 5 .

b) Montrer que:

si un entier p est divisible par 4 et par 5 alors p est divisible par 20 .

c) En déduire que:

si n est une solution de \((\mathrm{S})\) alors \(\mathrm{n}-13 \equiv \mathrm{O}[20]\)

3) a) Vérifier que pour tous entiers relatifs n et \(k\) on a :

\(n-13=20 k\) si et seulement si \(n-1=4(3+5 k)\)

b) Montrer que si \(n-13 \equiv 0[20]\) alors \(n\) est une solution du système \((S)\).

c) En déduire l’ensemble des solutions du système ( \(S\) ).

4) Un puzzle contient N pièces, si on les range par 4 il en reste une seule pièce et si on les