Baccalauréat Section Informatique Session Principal juillet 2020 Épreuve math PDF

Duré de l’épreuve: 3 heures
Exercice 1: (5 points )
Exercice 2: (4.5 points )
Exercice 3: (6 points )
Exercice 4: (4.5 points )

* Exercice 1: (5 points ) *

On considère dans ℂ l’équation (E):

z^{2} - (3 + 3 i \sqrt{3}) z - 6 + 3 i \sqrt{3} = 0

1) a) Vérifier que

i \sqrt{3}

est une solution de l’équation (E).

b) En déduire l’autre solution de l’équation (E).

2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé

(O, \vec{u}, \vec{v})

On considère les points A, B et C d’affixes respectives:

z_{A} = i \sqrt{3}

z_{B} = 3 + 2 i \sqrt{3}

z_{c} = 3 - 2 i \sqrt{3}

a) Calculer

(z_{B} - z_{A}) (\overset{―}{z_{c} - z_{A}})

b) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A.

3) Dans la figure de l’annexe ci-jointe, on a placé le point A.

a) Soit D le point d’affixe

z_{0} = - 3

Montrer que le point A est le milieu du segment [DB]

b) Placer les points D,B\et C.

c) Montrer que l’aire du triangle DCB est égale à

12 \sqrt{3}

* Exercice 2: (4.5 points ) *

Une enquête effectuée dans les laboratoires d’informatique d’un lycée

équipés d’un lot d’ordinateurs de deux types D et L, achetés 5 ans plus tôt, montre que:

– 50 % d’ordinateurs sont de type D.

– 59 % d’ordinateurs de type

D

ont subi au moins une panne durant les 5 ans.

– 30 % d’ordinateurs de type L n’ont subi aucune panne durant les 5 ans.

On choisit au hasard un ordinateur de ce lot et on considère les événements suivants:

A : « L’ordinateur choisi est de type D ».

B : « L’ordinateur choisi est de type L »,

C : « L’ordinateur choisi a subi au moins une panne durant les 5 ans y ».

1) Déterminer

p (C / A)

p (\overset{―}{C} / B)

2) Recopier et compléter l’arbre probabiliste ci-contre :

Dans la suite de l’exercice, on donnera les résultats arrondis à

10^{- 2}

près.

3) a) Montrer que la probabilité qu’un ordinateur n’a subi aucune panne durant les 5 ans

est 0,36

b) Déduire alors la probabilité que l’ordinateur choisi soit de type D sachant qu’il n’a

subi aucune panne durant les 5 ans.

4) La durée de vie, exprimée en années, d’un ordinateur de type D

(la duree de fonctionnement avant la première panne) est une variable

aléatoire

X

qui suit une loi exponentielle de paramètre

λ = 0, 18

a) Montrer que:

la probabilité qu’un ordinateur de type

D

ne subit aucune panne avant

6 ans est 0,34

b) On veut équiper un nouveau laboratoire d’informatique d’un lot de 10 ordinateurs de type D.

Quelle est la probabilité p que, dans ce lot, l’un au moins des ordinateurs ait une

durée de vie supérieure à 6 ans?

* Exercice 3: (6 points ) *

1) Soit g la fonction définie sur IR par:

g (x) = 1 - (2 x + 1) e^{- 2 x}

a) Montrer que:

pour tout

x \inIR, g ‘ (x) = 4 x e^{- 2 x}

b) Etudier le sens de variation de

g

et déduire que pour tout

x \in R, g (x) \geq 0

2) Soit fla fonction définie surIR par:

f (x) = x + 1 + (x + 1) e^{- 2 x}

(C)

sa courbe représentative

dans un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

a) Calculer

lim_{x \to - \infty} f (x)

et montrer que

lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x} = + \infty .

Interpréter graphiquement le résultat.

b) Montrer que

lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty

et que la droite

D : y = x + 1

est une asymptote à la courbe

(+ \infty)

c) Etudier la position relative de la courbe (C) par rapport à la droite D.

3) Montrer que pour tout

x \in R, f^{'} (x) = g (x)

et dresser le tableau de variation de

f

4) a) Montrer que

A (0, 2)

est un point d’inflexion pour la courbe (C).

b) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe (C) au point A.

c) Tracer

D, T

(C)

5) Soit

α

un réel strictement supérieur à (-1) .

On désigne par

A_{α}

l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan limitée par la courbe

(C),

droite

D

et les droites d’équations

x = - 1

x = α

a) Par une intégration par parties, montrer que

A_{α} = \frac{1}{4} e^{2} - (\frac{1}{2} α + \frac{3}{4}) e^{- 2 α}

b) Calculer

lim_{α \to + \infty} A_{α}

* Exercice 1: (4.5 points ) *

On considère dans l’ensemble des entiers relatifs le système (

S

) :

{\begin{cases} n \equiv 1 [4] \\ n = 3 [5] \end{cases}

1) Vérifier que 13 est une solution de (

S

2) a) Montrer que si n est une solution de (

S

) alors

(n - 13)

est divisible par 4 et par 5 .

b) Montrer que:

si un entier p est divisible par 4 et par 5 alors p est divisible par 20 .

c) En déduire que:

si n est une solution de

(S)

alors

n - 13 \equiv O [20]

3) a) Vérifier que pour tous entiers relatifs n et

k

on a :

n - 13 = 20 k

si et seulement si

n - 1 = 4 (3 + 5 k)

b) Montrer que si

n - 13 \equiv 0 [20]

alors

n

est une solution du système

(S)

c) En déduire l’ensemble des solutions du système (

S

4) Un puzzle contient N pièces, si on les range par 4 il en reste une seule pièce et si on les