Exercices Corrigés Arithmétiques dans Z
* Série 2 *
* Exercice 6 *
Démontrer que pour tout entier naturel n.
\(2×7^{2n+1}+3^{n+2}\) est divisible par 23.
* Exercice 7 *
1/ En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le PGCD de 69 et 39.
2/ En déduire un couple (u, v) d’entiers relatifs tels que:
« 69u+39v=d » d désignant le PGCD de 69 et 39.
3/ Peut-on trouver deux entiers relatifs x et y tels que « 69x+39y=4 » ?
4/ Déterminer tous les couples (x, y) d’entiers relatifs:
solutions de l’équation « 69x+39y=3 ».
* Exercice 8 *
1/ Soit a et b deux entiers strictement positifs.
On appelle d leur PGCD.
On note a’ et b’ les entiers définis par a=da’ et b=db’.
Démontrer que a’ et b’ sont premiers entre eux.
2/ Déterminer tous les couples (a, b) d’entiers naturels non nuls:
vérifiant PGCD}(a,b)=9 & a+b=81.
* Exercice 9 *
Soit n un entier naturel non nul.
1/ Montrer que \(2 n^{2}+1\) est premier avec \(n\)
2/ Montrer que \(2 n^{2}+1\) est premier avec \(n^{2}+1\)
3/ En déduire que la fraction \(\frac{n^{3}+n}{2 n^{2}+1}\) est irréductible.
* Exercice 10 *
Trouver le reste de la division euclidienne par 5 du nombre \(12^{1527}\).
* Correction *
* Exercice 6 *
On a:
\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline 1 & 1 & 3 & 3 \\
\hline 39 & 30 & 9 & 3 \\
\hline 30 & 9 & 3 & 0 \\
\hline
\end{array}\)
Donc PGCD(69,39)=3.
2/ Posons a=69 et b=39.
Écrivons en ligne les différentes divisions de l’algorithme d’Euclide,
et exprimons chaque reste en fonction de a et b.
a=b+3 ⇒ 30=a-b
b=30+9 ⇒ 9=b-(a-b)=2b-a.
30=3×9+3 ⇒ 3=30-3×9
=(a-b)-3(2b-a)
=4a-7b.
On peut donc prendre u=4 et v=-7.
3/ On suppose l’existence de deux entiers x et y tels que: 69x+39y=4.
Alors 3(23x+13y)=4 avec (23x+7y)∊Z.
On en déduit que 3 divise 4 ce qui est absurde.
Ainsi on ne peut pas trouver d’entiers x et y vérifiant « 69 x+39 y=4 »
4/ * Analyse:
on suppose qu’il existe des entiers x et y vérifiant « 69 x+39 y=3 »
Alors 69(x-4)=-39(y+7)
d’où 23(x-4)=-13(y+7) ①
⇒ 13 divise le produit 23(x-4) et 13 est premier avec 23.
Donc, d’après le théorème de Gauss, 13 divise (x-4)
En conséquence il existe un entier k tel que x-4=13k
donc x=4+13k
En remplaçant (x-4) par 13k dans l’égalité ①
on obtient 23×13k=-13(y+7)
d’où y+7=-23k
puis y=-7-23k
* Vérification:
soit k un entier.
Posons x=4+13k et y=-7-23k.
Alors 69x+39k=69(4+13k)-39(7+23k)
=(69×4-39×7)+69×13k-39×23k=3
Conclusion:
les solutions dans \(Z^{2}\) de l’équation : 69 x+39 y=3
sont les couples (4+13k ;-7-23k) où k∊Z
* Exercice 7 *
Soit k un diviseur commun à a’ et b’ (k≥1).
Alors dk divise da’ et db’.
Autrement dit dk divise a et b.
Or le plus grand diviseur positif commun à a et b est d.
Par conséquent, dk≤d puis k≤1.
De plus k≥1.
Finalement k=1, ce qui signifie que a’ et b’ sont premiers entre eux.
2/ Analyse:
On suppose que (a, b) est un couple d’entiers naturels non nuls vérifiant l’égalités :
PGCD(a,b)=9 & a+b=81.
Posons a’=\(\frac{a}{9}\) et b’=\(\frac{b}{9}\)
D’après la question précédente,
on peut dire que a’ et b’ sont des entiers naturels premiers entre eux.
Puisque a=9a’ et b=9b’
on obtient: 9a’+9b’=81.
d’où a’+b’=9.
On en déduit le tableau suivant donnant les valeurs possibles pour a et b :
\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline a’ & b’=9-a’ & a=9 a’ & b=9 b’ \\
\hline 1 & 8 & 9 & 72 \\
\hline 2 & 7 & 18 & 63 \\
\hline 4 & 5 & 36 & 45 \\
\hline 5 & 4 & 45 & 36 \\
\hline 7 & 2 & 63 & 18 \\
\hline 8 & 1 & 72 & 9 \\
\hline
\end{array}\)
* Vérifications
Posons a=36 et b=45
alors
PGCD(a,b)=PGCD(9×4,9×5)
=9×PGCD(4,5)=9×1=9.
eet a+b=36+45=81.
Donc (36,45) est solution du système initial.
Les vérifications pour les 5 autres couples sont analogues.
* Conclusion Le système:
\(\left\{\begin{array}{l}P G C D(a, b)=9 \\ a+b=81\end{array}\right.\)
admet exactement six couples solutions dans IN*×IN*.
admet exactement six couples solutions dans IN*×IN*.
ce sont les couples (9,72),(18,63),(36,45),(45,36),(63,18) et (72,9).
* Exercice 8*
Soit n∊IN*
1/ \((2 n^{2}+1)+(-2n)×n=2n^{2}+1-2n^{2}=1\).
Donc, d’après le théorème de Bezout, \(2n^{2}+1\) est premier avec n.
\(2(-1)×(2 n^{2}+1)+2×(n^{2}+1)=-2n^{2}-1+2n^{2}+2=1\).
Donc, d’après le théorème de Bézout, \(2n^{2}+1\) est premier avec \(n^{2}+1\).
3/ On peut montrer le lemme suivant (fait en classe):
étant donnés trois entiers a,b et c,
si a est premier avec b et premier avec c, alors a est premier avec le produit bc
En prenant \(a=2n^{2}+1, b=n et c=n^{2}+1\), le lemme précédent permet de dire que \(2 n^{2}+1\) est premier avec le produit \(n(n^{2}+1)=n^{3}+n\).
On en déduit que la fraction \(\frac{n^{3}+n}{2 n^{2}+1}\) est irréductible.
* Exercice 9*
12≡2[5] donc \(12^{1527}≡2^{1527}\)
On a: \(2^{4}=16≡1[5]\).
* 1527=4×381+3 donc:
\(2^{1527}=2^{(4×381+3)}=(2^{4})^{381}× 2^{3}\)
* \(2^{4}=1[5]\) donc:
\((2^{4})^{381}×2^{3}\)
≡\(1^{381}×2^{3}[5]\)
≡8[5]≡3[5]
0≤3<5 donc le reste de la division euclidienne de \(12^{1527}\) est 3
* Exercice 10 *
1/ \(3^{2}=9=2[7]\)
Pour tout n∊IN, (3^{2n}=\(3^{2})^{n}=9^{n}=2^{n}\)
donc \(3^{2n}≡2^{n}[7]\)
2/ On en déduit que, pour tout n, \(3^{2n} ≡ 2^{n}\) est divisible par 7
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