Exercices Corrigés Arithmétiques dans Z
* Série 2 *
* Exercice 6 *
Démontrer que pour tout entier naturel n.
* Exercice 7 *
1/ En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le PGCD de 69 et 39.
2/ En déduire un couple (u, v) d’entiers relatifs tels que:
« 69u+39v=d » d désignant le PGCD de 69 et 39.
3/ Peut-on trouver deux entiers relatifs x et y tels que « 69x+39y=4 » ?
4/ Déterminer tous les couples (x, y) d’entiers relatifs:
solutions de l’équation « 69x+39y=3 ».
* Exercice 8 *
1/ Soit a et b deux entiers strictement positifs.
On appelle d leur PGCD.
On note a’ et b’ les entiers définis par a=da’ et b=db’.
Démontrer que a’ et b’ sont premiers entre eux.
2/ Déterminer tous les couples (a, b) d’entiers naturels non nuls:
vérifiant PGCD}(a,b)=9 & a+b=81.
* Exercice 9 *
Soit n un entier naturel non nul.
1/ Montrer que
2/ Montrer que
3/ En déduire que la fraction
* Exercice 10 *
Trouver le reste de la division euclidienne par 5 du nombre
* Correction *
* Exercice 6 *
On a:
Donc PGCD(69,39)=3.
2/ Posons a=69 et b=39.
Écrivons en ligne les différentes divisions de l’algorithme d’Euclide,
et exprimons chaque reste en fonction de a et b.
a=b+3 ⇒ 30=a-b
b=30+9 ⇒ 9=b-(a-b)=2b-a.
30=3×9+3 ⇒ 3=30-3×9
=(a-b)-3(2b-a)
=4a-7b.
On peut donc prendre u=4 et v=-7.
3/ On suppose l’existence de deux entiers x et y tels que: 69x+39y=4.
Alors 3(23x+13y)=4 avec (23x+7y)∊Z.
On en déduit que 3 divise 4 ce qui est absurde.
Ainsi on ne peut pas trouver d’entiers x et y vérifiant « 69 x+39 y=4 »
4/ * Analyse:
on suppose qu’il existe des entiers x et y vérifiant « 69 x+39 y=3 »
Alors 69(x-4)=-39(y+7)
d’où 23(x-4)=-13(y+7) ①
⇒ 13 divise le produit 23(x-4) et 13 est premier avec 23.
Donc, d’après le théorème de Gauss, 13 divise (x-4)
En conséquence il existe un entier k tel que x-4=13k
donc x=4+13k
En remplaçant (x-4) par 13k dans l’égalité ①
on obtient 23×13k=-13(y+7)
d’où y+7=-23k
puis y=-7-23k
* Vérification:
soit k un entier.
Posons x=4+13k et y=-7-23k.
Alors 69x+39k=69(4+13k)-39(7+23k)
=(69×4-39×7)+69×13k-39×23k=3
Conclusion:
les solutions dans
sont les couples (4+13k ;-7-23k) où k∊Z
* Exercice 7 *
Soit k un diviseur commun à a’ et b’ (k≥1).
Alors dk divise da’ et db’.
Autrement dit dk divise a et b.
Or le plus grand diviseur positif commun à a et b est d.
Par conséquent, dk≤d puis k≤1.
De plus k≥1.
Finalement k=1, ce qui signifie que a’ et b’ sont premiers entre eux.
2/ Analyse:
On suppose que (a, b) est un couple d’entiers naturels non nuls vérifiant l’égalités :
PGCD(a,b)=9 & a+b=81.
Posons a’=
D’après la question précédente,
on peut dire que a’ et b’ sont des entiers naturels premiers entre eux.
Puisque a=9a’ et b=9b’
on obtient: 9a’+9b’=81.
d’où a’+b’=9.
On en déduit le tableau suivant donnant les valeurs possibles pour a et b :
* Vérifications
Posons a=36 et b=45
alors
PGCD(a,b)=PGCD(9×4,9×5)
=9×PGCD(4,5)=9×1=9.
eet a+b=36+45=81.
Donc (36,45) est solution du système initial.
Les vérifications pour les 5 autres couples sont analogues.
* Conclusion Le système:
admet exactement six couples solutions dans IN*×IN*.
ce sont les couples (9,72),(18,63),(36,45),(45,36),(63,18) et (72,9).
* Exercice 8*
Soit n∊IN*
1/
Donc, d’après le théorème de Bezout,
Donc, d’après le théorème de Bézout,
3/ On peut montrer le lemme suivant (fait en classe):
étant donnés trois entiers a,b et c,
si a est premier avec b et premier avec c, alors a est premier avec le produit bc
En prenant
On en déduit que la fraction
* Exercice 9*
12≡2[5] donc
On a:
* 1527=4×381+3 donc:
*
≡
≡8[5]≡3[5]
0≤3<5 donc le reste de la division euclidienne de
* Exercice 10 *
1/
Pour tout n∊IN, (3^{2n}=
donc
2/ On en déduit que, pour tout n,
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