Baccalauréat Section sciences expérimentales Session Principal juillet 2020 Épreuve math PDF

Baccalauréat sciences expérimentales

Baccalauréat Section sciences expérimentales 

Session Principal juillet 2020 Épreuve math Avec PDF

Duré de  l’épreuve: 3 heures
Exercice 1: (3 points )
Exercice 2: (5 points )
Exercice 3: (5 points )
Exercice 4: (6 points )
* Exercice 1: (3 points ) *
Le tableau ci-dessous donne la répartition d’une population en trois catégories, selon l’indice de masse corporelle (IMC) exprimé en kg/m2
Catégorie(IMC<25)(25≤IMC<30)(IMC≥30)P.P.NP.SP.OPourcentage50%30%20%
P.P.N: Personnes de poids normal
P.S: Personnes en surpoids
P.O: Personnes obèses
Une étude a montré que:
3\% des personnes de poids normal sont diabétiques.
7\% des personnes en surpoids sont diabétiques.
9 % des personnes obèses sont diabétiques.
On choisit au hasard une personne de cette population 
et on considère les événements suivants:
A:  » La personne choisie est de poids normal »
B:  » La personne choisie est en surpoids « .
C:  » La personne choisie est obèse ».
D:( La personne choisie est diabétique y
1) a) Déterminer p(A∩D),p(B∩D) et p(C∩D)
b) Montrer que p(D)=0.054
c) Calculer la probabilité que:
la personne choisie ne soit pas de poids normal sachant
qu’elle est diabétique. (On donnera le résultat arrondi à 10−3 )
2) On choisit, au hasard, n personnes de cette même population. 
On désigne par pn la
probabilité qu’aucune personne n’est diabétique.
a) Exprimer pn en fonction de n
puis calculer limn→+∞pn
b) Déterminer le plus petit entier n pour lequel pn≤0.1
* Exercice 2: (5 points ) *
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, ủ, v).
Dans la figure de l’annexe ci-jointe

on a placé les points A et B d’affixes respectives:
 zA=2eiπ6 et zB=12zA2, 
ainsi que le milieu I du segment [AB]

1) a) Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes zA et zB
b) Vérifier que :
l’affixe du point I est z1=(1+32)(1+i)
2) On considère dans ℂ l’équation:
(E): z2+2z−2(1+3)(1+i)=0
Soit M et N deux points d’affixes respectives z et 12z2 
oú z est un nombre complexe non nul et différent de 2
a) Montrer que:
 le point I est le milieu de [MN], si et seulement si, z est une solution de (E).
b) Justifier que zA est une solution de (E).
3) Soit zc la deuxième solution de (E), C le point d’affixe zc 
et K le point d’affixe (-2)
a) Donner la valeur de zA+zC
b) Montrer que: le quadrilatère OAKC est un parallélogramme.
Construire alors le point C.
c) Soit le point D d’affixe zD=12zC2. 
Construire dans l’annexe le point D
4) a) Ecrire (1+i) sous forme exponentielle. 
En déduire que zA⋅zC=2(2+6)ei(5π4)
b) Montrer que les points 0,A et D sont alignés.
* Exercice 3: (5 points ) *
Dans la figure ci-contre, 

OABCDEFG et OABCD’E’F’G’ sont deux cubes identiques d’arête 1. 

On munit l’espace du repère orthonormé direct (O,OA,OC,OD). 

Les points K et L sont définis par OK→=aOD→ 

et E′L→=(1−a)OC→

 où a est un réel de l’intervalle ] 0,1[

1) a) Donner les coordonnées des points C,B,F et K
b) Montrer que BC→∧BK→=aOC→+OD→
c) Calculer le volume du tétraèdre FBCK.
2) Soit P le plan ( BCK).
Montrer qu’une équation de P est ay+z−a=0
3) a) Donner les coordonnées de E ‘. En déduire que L(1,1−a,−1)
b) Montrer que B est le projeté orthogonal du point L sur le plan P.
4) Soit
(S) I’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace tels que
x2+y2+z2−2x+2(a−1)y+2z+1−2a=0
a) Montrer que:
(S) est la sphère de centre Lest de rayon R=2+a2
b) Montrer que:
(S) et P se coupent suivant un cercle dont on précisera le centre et le rayon
* Exercice 4: (7 points ) *
1) Soit la fonction g définie sur R par g(x)=x2+e−x
a) Calculer g′(x) pour tout x∈R
On a dressé ci-contre, le tableau de variation
de g′ la fonction dérivée de g
b) Montrer que l’équation g′(x)=0 admet dans R une solution unique β 
et vérifier que 0.3<β<0.4
c) Déterminer le signe de g′(x),x∈R
Dans la suite, on considère la fonction f définie sur R par:f(x)=g(x) 
On désigne par Cf sa courbe représentative dans un repère 
orthonormé (0,i→,j→)
2) Justifier que:
pour tout x∈R,g′(x) et f′(x) ont même signe.
3) a) Déterminer limx→−∞f(x) et limx→+∞f(x)
b) Montrer que:
limx→−∞f(x)x=−∞. Interpréter graphiquement le résultat.
c) Vérifier que:
 pour tout réel x>0,f(x)−x=e−xf(x)+x
d) Montrer que la droite Δ:y=x est une asymptote a Cf au voisinage de +∞
e) Montrer que Cf est au-dessus de la droite Δ
4) a) Dresser le tableau de variation de f
b) Tracer la courbe Cf dans le repère (0,i→,j→).
(On prendra β≈0.35 )
5) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. 
On désigne par a n l’aire en (u.a) de la partie du plan limitée par la courbe Cf, 
la droite Δ et les droites d’équations x=1 et x=n
a) Montrer que la suite (an)n≥2 est croissante.
b) Soit n≥2, montrer que pour tout x∈[1,n],e−xn+f(n)≤f(x)−x≤e−x1+f(1)
c) En déduire que:
 pour tout n≥2,e−1−e−nn+f(n)≤an≤e−1−e−n1+f(1)
d) Montrer que la suite (an)n≥2 est convergente.
6) a) Déterminer:
 une valeur approchée à 10−4 de chacun des nombres e−1−e−22+f(2) et e−11+f(1)
b) On note L=limn→+∞un.
 Montrer que 0.05<L<0.17
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