Sujet Bac Ancien Exercices Nombres complexes PDF terminale S n° 01

Exercices Nombres complexes
Sujet Bac Ancien Exercices Nombres complexes PDF terminale S n° 01
? Groupe I bis 1997 
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u→,v→), ayant comme unité graphique 4cm. 
On note A, B et C les points d’affixes respectives 2 i,-1 et i.
On considère la fonction f de P-{A}\dans P
qui à tout point M de} P-{A}, d’affixe z, 
associe le point M‘ d’affixe z‘ 
tel que: z‘=z+1z−2i
1. a) Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
b) Déterminer l’affixe du point C ‘ image de C. 
Quelle est la nature du quadrilatère ACBC’ ?
c) Montrer que:
le point C admet un antécédent unique par f que l’on notera C ». 
Quelle est la nature du triangle BCC » ?
2. Donner une interprétation géométrique de l’argument et du module de z‘.
3. Déterminer, 
en utilisant la question précédente,  quels sont les ensembles suivants:
a) L’ensemble Ea:
« des points M dont les images par f ont pour affixe un nombre réel strictement négatif ».
b) L’ensemble Eb:
« des points M dont les images par f ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul ».
c) l’ensemble Ec:
« des points M dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1 ».
? Groupe II bis 1997 
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O,u→,v→), 
(unité graphique 3cm ). 
On désigne par A le point d’affixe i. 
A tout point M du plan, distinct de A, d’affixe z, 
on associe le point M’ d’affixe z‘ défini par: z‘=z2i−z.
1). Déterminer les points M confondus avec leur image M.
2). Étant donné un complexe z distinct de i, 
on pose: z=x+iy et z‘=x‘+iy‘, 
avec x,y,x′,y‘ réels.
Montrer que:
x‘=−x(x2+y2−2y)x2+(1−y)2
En déduire l’ensemble E des points M
dont l’image M′ est située sur l’axe des imaginaires purs. 
Dessiner l’ensemble E.
3). Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM. 
En déduire l’ensemble F des points M du plan
tels que M et M’ soient situés sur un même cercle de centre O. 
Dessiner l’ensemble F.
Dans toute cette question, on considère un point M d’affixe z, 
situé sur le cercle de centre A et de rayon 12. 
M est le point d’affixe z‘ correspondant, 
et G l’isobarycentre des points A,M et M. 
Calculer l’affixe zG de G en fonction de z. 
Montrer que:
G est situé sur un cercle un centre O dont on précisera le rayon. 
Après avoir comparé les angles (u→,OG→:) et (u→,AM→:), 
effectuer la construction de G, En déduire celle de M’.
? Antilles 1997 
Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct (O,u→,v→), (unité graphique est 1cm).
On considère les points A, B, C d’affixes respectives:
zA=(33−2)+i(3+23),
zB=(−3−1)+i(3−1)
zC=(1−43)+i(−4−3).
1). On se propose de placer les points A, B et C dans le repère (O,u→,v→)
à laide du compas. 
Pour cela on considère:
la rotation R de centre O et d’angle de mesure −2π3.
a) Donner l’écriture complexe de R.
b) Vérifier que R transforme le point A en le point A d’affixe: 4-6 i.
On admettra que R transforme les points 
B et C en les points B’ et C’ d’affixes respectives 2+2i et −2+8i
c) Placer les points A’, B’, C’ puis, à l’aide du compas, les points A, B, C.
(La construction de A sera justifiée).
2. a) Calculer zA−zB+zC
b) En déduire que: le point O est le barycentre
du système de points pondérés {(A,1),(B,-1),(C,1)}.
3). Soit l’ensemble C des points M du plan tels que:
‖MA→−MB→+MC→‖=‖MA→−2MB→+MC→‖
a) Vérifier que B appartient à C.
b) Déterminer puis tracer l’ensemble C.
4). Déterminer puis tracer l’ensemble D des points M du plan
tels que: 2‖MA→MB→+MC→‖=‖MA→−3MB→‖
? Polynésie 1997 
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct 
(O,u→,v→), on considère les points Mn d’affixes: 
zn=(12i)n(1+i3) où n est un entier naturel.
1). Exprimer zn+1 en fonction de zn puis zn en fonction de z0 et n. 
Donner z0,z1,z2,z3 et z4 
sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
2). Placer les points M0,M1,M2,M3 et M4
(unité graphique: 4cm ).
3). Déterminer la distance OMn en fonction de n.
4). a) Montrer que l’on a :
 MnMn+1=52n pour tout n entier naturel.
b) On pose Ln=∑k=0nMkMk+1
(C’est à dire Ln=M0M1+M1M2+…+MnMn+1 ).
Déterminer Ln en fonction de n. 
puis la limite de Ln quand n tend vers +∞.
5. Déterminer une mesure de l’angle
(OM0→,OMn→) en fonction de n 
Pour quelles valeurs de n les points O,M0 et Mn sont-ils alignés?
? Centres étrangers 1997
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O,u→,v→), 
on donne les points A d’affixe 2i, B d’affixe 2 et I milieu de [AB].
(on prendra 2 cm d’unité graphique). 
On considère la fonction f qui, à tout point M distinct de A, d’affixe z, 
associe le point M‘ d’affixe z‘ tel que: z‘=2zz−2i.
1. a) Montrer que f admet comme points invariants le point O.
et un deuxième point dont on précisera l’affixe.
b) Déterminer les images par f des points B et I.
2). Soit M un point quelconque distinct de A et O.
Etablir que:

{(u→,OM‘→)=(MA→,MO→)+2kπ,k∈ZOM‘=2MOMA

3). Soit (Δ) la médiatrice de [OA].
Montrer que:
les transformés par f des points de (Δ) appartiennent à un cercle (C) que l’on précisera.
4). Soit (Г) le cercle de diamètre [OA], privé du point A. 
Montrer que les transformés par f des points de (Γ) appartiennent à une droite (D) que l’on précisera.
5). Tracer (Δ),(Γ),(C),(D) sur la meme figure.
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