Sujet Bac Ancien Exercices Nombres complexes PDF terminale S n° 01

📑 Groupe I bis 1997

Le plan complexe \(P\) est rapporté à un repère orthonormal direct \((O;\vec{u},\vec{v}),\) ayant comme unité graphique 4cm.

On note A, B et C les points d’affixes respectives 2 i,-1 et i.

On considère la fonction \(f\) de \(P\)-{A}\dans \(P\)

qui à tout point M de} \(P\)-{A}, d’affixe \(z\),

associe le point \(M ‘\) d’affixe \(z ‘\)

tel que: \(z ‘=\frac{z+1}{z-2 i}\)

1. a) Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b) Déterminer l’affixe du point C ‘ image de C.

Quelle est la nature du quadrilatère ACBC’ ?

c) Montrer que:

le point C admet un antécédent unique par \(f\) que l’on notera C ».

Quelle est la nature du triangle BCC » ?

2. Donner une interprétation géométrique de l’argument et du module de \(z ‘\).

3. Déterminer,

en utilisant la question précédente, quels sont les ensembles suivants:

a) L’ensemble \(E_{a}\):

« des points M dont les images par \(f\) ont pour affixe un nombre réel strictement négatif ».

b) L’ensemble \(E_{b}\):

« des points M dont les images par \(f\) ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul ».

c) l’ensemble \(E_{c}\):

« des points M dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1 ».

📑 Groupe II bis 1997

Le plan complexe \(P\) est rapporté à un repère orthonormal direct \((O,\vec{u},\vec{v})\),

(unité graphique 3cm ).

On désigne par A le point d’affixe i.

A tout point M du plan, distinct de A, d’affixe \(z\),

on associe le point M’ d’affixe \(z ‘\) défini par: \(z ‘=\frac{z^{2}}{i-z}\).

1). Déterminer les points M confondus avec leur image M.

2). Étant donné un complexe \(z\) distinct de i,

on pose: \(z=x+i y\) et \(z ‘=x ‘+i y ‘\),

avec \(x, y, x’, y ‘\) réels.

Montrer que:

\(x ‘=\frac{-x(x^{2}+y^{2}-2 y)}{x^{2}+(1-y)^{2}}\)

En déduire l’ensemble \({E}\) des points \(M\)

dont l’image \(M’\) est située sur l’axe des imaginaires purs.

Dessiner l’ensemble \({E}\).

3). Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM.

En déduire l’ensemble \({F}\) des points M du plan

tels que M et M’ soient situés sur un même cercle de centre O.

Dessiner l’ensemble \({F}\).

Dans toute cette question, on considère un point M d’affixe \(z\),

situé sur le cercle de centre A et de rayon \(\frac{1}{2}.\)

M est le point d’affixe \(z ‘\) correspondant,

et \(G\) l’isobarycentre des points A,M et M.

Calculer l’affixe \(z_{G}\) de G en fonction de \(z\).

Montrer que:

G est situé sur un cercle un centre O dont on précisera le rayon.

Après avoir comparé les angles \((\vec{u},\overrightarrow{OG}:)\) et \((\vec{u}, \overrightarrow{AM}:),\)

effectuer la construction de G, En déduire celle de M’.

📑 Antilles 1997

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct \((O, \vec{u}, \vec{v}),\) (unité graphique est 1cm).

On considère les points A, B, C d’affixes respectives:

\(z_{A}=(3 \sqrt{3}-2)+i(3+2 \sqrt{3})\),

\(z_{B}=(-\sqrt{3}-1)+i(\sqrt{3}-1)\)

\(z_{C}=(1-4 \sqrt{3})+i(-4-\sqrt{3})\).

1). On se propose de placer les points A, B et C dans le repère \((O, \vec{u}, \vec{v})\)

à laide du compas.

Pour cela on considère:

la rotation \(R\) de centre O et d’angle de mesure \(\frac{-2 π }{3}\).

a) Donner l’écriture complexe de \(R\).

b) Vérifier que \(R\) transforme le point A en le point A d’affixe: 4-6 i.

On admettra que \(R\) transforme les points

B et C en les points B’ et C’ d’affixes respectives \(2+2 i\) et \(-2+8 i\)

c) Placer les points A’, B’, C’ puis, à l’aide du compas, les points A, B, C.

(La construction de A sera justifiée).

2. a) Calculer \(z_{A}-z_{B}+z_{C}\)

b) En déduire que: le point O est le barycentre

du système de points pondérés {(A,1),(B,-1),(C,1)}.

3). Soit l’ensemble \(C\) des points M du plan tels que:

\(\|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|\)

a) Vérifier que B appartient à \(C\).

b) Déterminer puis tracer l’ensemble \(C\).

4). Déterminer puis tracer l’ensemble \(D\) des points M du plan

tels que: \(2\|\overrightarrow{MA} \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MA}-3 \overrightarrow{M B}\|\)

📑 Polynésie 1997

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct

\((O, \vec{u}, \vec{v}),\) on considère les points \(M_{n}\) d’affixes:

\(z_{n}=(\frac{1}{2} i)^{n}(1+i \sqrt{3})\) où \(n\) est un entier naturel.

1). Exprimer \(z_{n+1}\) en fonction de \(z_{n}\) puis \(z_{n}\) en fonction de \(z_{0}\) et n.

Donner \(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}\) et \(z_{4}\)

sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

2). Placer les points \(M_{0}, M_{1}, M_{2}, M_{3}\) et \(M_{4}\)

(unité graphique: 4cm ).

3). Déterminer la distance \(OM_{n}\) en fonction de n.

4). a) Montrer que l’on a :

\(M_{n} M_{n+1}=\frac{\sqrt{5}}{2^{n}}\) pour tout n entier naturel.

b) On pose \(L_{n}=\sum_{k=0}^{n} M_{k} M_{k+1}\)

(C’est à dire \(L_{n}=M_{0} M_{1}+M_{1} M_{2}+…+M_{n} M_{n+1}\) ).

Déterminer \(L_{n}\) en fonction de \(n\).

puis la limite de \(L_{n}\) quand n tend vers \(+∞\).

5. Déterminer une mesure de l’angle

\((\overrightarrow{OM_{0}}, \overrightarrow{OM_{n}})\) en fonction de \(n\)

Pour quelles valeurs de \(n\) les points \(O,M_{0}\) et \(M_{n}\) sont-ils alignés?

📑 Centres étrangers 1997

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \((O, \vec{u}, \vec{v}),\)

on donne les points A d’affixe 2i, B d’affixe 2 et I milieu de [AB].

(on prendra 2 cm d’unité graphique).

On considère la fonction \(f\) qui, à tout point \(M\) distinct de A, d’affixe \(z\),

associe le point \(M ‘\) d’affixe \(z ‘\) tel que: \(z ‘=\frac{2 z}{z-2 i}\).

1. a) Montrer que \(f\) admet comme points invariants le point O.

et un deuxième point dont on précisera l’affixe.

b) Déterminer les images par f des points B et I.

2). Soit M un point quelconque distinct de A et O.

Etablir que:

\(\left\{\begin{array}{l} (\vec{u}, \overrightarrow{{OM} ‘})=(\overrightarrow{{MA}}, \overrightarrow{{MO}})+2kπ, k∈Z \\ OM ‘=2 \frac{MO}{MA} \end{array}\right.\)

3). Soit (\(Δ\)) la médiatrice de [OA].

Montrer que:

les transformés par \(f\) des points de (Δ) appartiennent à un cercle (C) que l’on précisera.

4). Soit (Г) le cercle de diamètre [OA], privé du point A.

Montrer que les transformés par \(f\) des points de (\(\Gamma\)) appartiennent à une droite (D) que l’on précisera.