Épreuve math Baccalauréat Section Math
Session Principal juillet 2020 –PDF–
Duré de l’épreuve: 4 heures
Exercice 1: (5 points )
Exercice 2: (4 points )
Exercice 3: (4 points )
Exercice 4: (7 points )
* Exercice 1: (5 points ) *
Le plan est orienté. Dans la figure ci-contre,
ABC est un triangle direct, non rectangle et non isocèle.
GAC et EBA sont des triangles directs, rectangles et isocèles respectivement en G et en E.
L, K, I et J sont les milieux respectifs des côtés [BC],[GE],[EL] et [GL].
F et H sont les symétriques respectifs de G et J par rapport à L.
On note \(r_{1}\) et \(r_{2}\) les rotations de même angle \(\frac{\pi}{2}\)
et de centres respectifs G et E.
\(S_{L}\) désigne la symétrie centrale de centre \(L\)
1) a) Déterminer \(r_{2}oS_{L}or_{1}(A)\)
Caractériser \(r_{2}oS_{L}or_{1}\)
b) En déduire que le triangle EFG est rectangle, isocèle.
c) Justifier que le quadrilatère LJKI est un carré.
2) Soit \(φ\) la symétrie glissante de vecteur \(\vec{LK}\) et d’axe (Δ) passant par I
On pose \(g=φoS_{(L E)}\), où \(S_{(L E)}\) est la symétrie orthogonale d’axe (LE).
a) Montrer que Δ=( IH)
b) Montrer que g(J)=I et g(L)=E
c) Prouver que \(g\) est la rotation de centre K et d’angle \(-\frac{π}{2}\)
3) Soit \(f\) l’antidéplacement qui envoie J en I et L en E.
a) Justifier que \(f\) est une symétrie glissante.
b) Donner les éléments caractéristiques de \(f\)
4) Soit M un point du plan.
Soient M’et M » les images de M respectivement par \(f\) et \(g\).
Montrer que M’ et M » sont symétriques par rapport à une droite fixe que l’on précisera.
* Exercice 2: (4 points) *
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O,u,v).
Dans la figure 1
\((Г)\) est le cercle de centre O et de rayon \(\sqrt{2}\),
A, B et C sont les points d’affixes respectives 1, i\(\sqrt{2}\) et -i\(\sqrt{2}\).
Soit Q un point du cercle (\(Г\)) d’affixe un nombre complexe a,
distinct de i \(\sqrt{2}\) et \(-i\sqrt{2}\).
1) On désigne par R le point d’affixe a+\(\bar{a}\).
a) Vérifier que R∊\((0,\vec{u})\). Construire R.
b) Déterminer les nombres complexes a pour lesquels O,R et Q sont alignés.
2) Soit P le point du plan d’affixe ia et M un point d’affixe z non nul.
a) Justifier que P est l’image de Q par une rotation que l’on précisera.
Construire P.
b) Montrer que:
A, P et M sont alignes ⇔ \(i\bar{a}+1) z+(i a-1)\bar{z}=i(a+\bar{a})\)
c) Montrer que:
\((AP)⊥(OM) ⇔ (i \bar{a}+1) z-(i a-1) \bar{z}=0\)
d) Soit H le projeté orthogonal de O sur (AP).
On désigne par \(Z_{H}\), l’affixe du point H.
Justifier que \(Z_{H}=\frac{i(a+\bar{a})}{2(\bar{i} a+1)}\)
3) Soit N le point d’affixe \(Z_{N}=\frac{(a+\bar{a})}{(i \bar{a}+1)}\)
a) Vérifier que N est limage de H par une similitude que l’on déterminera.
b) Construire le point N
c) Déterminer l’ensemble sur lequel varie le point N
lorsque Q varie sur le cercle ( \(Г\) ) prive des points B et C.
* Exercice 3 (4 points) *
On considéré la suite \((a_{n})\) définie sur IN par:
\(\(a_{n}=2×5^{n}+7\).
1) a) Justifier que pour tout entier naturel n \(a_{n}\) est impair.
b) Déterminer suivant les valeurs de n, le reste modulo 8 de \(5^{n}\).
c) En déduire que pour tout \(n∊IN, a_{n}=1(mod 8)\)
2) a) Montrer que si \(\left\{\begin{array}{l}x=1(\bmod 8) \\ x=7(\bmod 125)\end{array} \text { alors } x=257(\bmod 1000)\right.\)
b) Montrer que pour tout \(n \geq 3, a_{n}=257(\bmod 1000)\)
c) Quels sont les trois derniers chiffres de \(\left(2 \times 5^{2020}+7\right)\left(2 \times 5^{2021}+7\right) ?\)
3) a) Vérifier que pour tout \(n \in N , 5 a_{2 n}-a_{2 n+1}=28\)
b) Soit dle PGCD de \(a_{2 n}\) et \(a_{2 n+1}\). Montrer que dest différent de 7 .
c) Trouver alors d.
* Exercice 4 : (7 points) *
I. Soit fla fonction definie sur \(R\) par \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+e^{2 x}}}\)
On désigne par ( \(\zeta\) ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i.j) du plan P.
1) Montrer que \(f\) est derivable sur \(R\) et que pour tout réel \(x, f^{\prime}(x)=\frac{-e^{2 x}}{\left(1+e^{2 x}\right) \sqrt{1+e^{2 x}}}\)
2) a) Determiner \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\) et \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) .\) Interpreter graphiquement les resultats obtenus.
b) Vérifier que pour tout réel \(x, 0<f(x)<1\)
3) a) Dresser le tableau de variation de \(f\)
b) Montrer que \(f\) realise une bijection \(f^{-1}\) de \(R\) sur un intervalle J que l’on précisera.
c) Montrer que Yéquation \(f(x)=x\) admet une unique solution \(\alpha\) telle que \(0,5<\alpha<0,6\)
d) Déterminer le signe de \(f(x)-x\) pour tout réel \(x\) Interpreter graphiquement le résultat
4) Dans la figure 2
On a construire la droite d’équation y-x
et on a placé le réel \(\alpha\) sur l’axe des abscisses
et le réel \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) sur l’axe des ordonnées.
a) Tracer la courbe \((\zeta)\)
b) Tracer la courbe \(\left(\zeta^{\prime}\right)\) de \(f^{-1}\)
5) a) Montrer que la fonction h definie sur \(R\) par \(h(x)=x-\ln (1+\sqrt{1+e^{2 x}})\) est une primitive de
b) On désigne par A raire de la partie du plan délimitée par la courbe ( \(\zeta\) ), raxe des abscisses et les droites d’équations respectives \(x=0\) et \(x=\alpha\) Montrer que \(A=\alpha+\ln \left(\frac{\alpha(1+\sqrt{2})}{\alpha+1}\right)\)
II. Pour tout \(k \in N^{*},\) on considère la fonction \(F_{k}\) définie sur \(\left[0,+\infty\left[. \text { par } F_{k}(x)=\int_{0}^{x}(f(t))^{k} d t\right.\right.\)
1) a) Montrer que la fonction \(F_{k}\) est croissante sur \([0,+\infty]\)
b) Montrer que pour tout réel \(t \in\left[0,+\infty\left[, \quad 0 \leq(f(t))^{k} \leq e^{-k t}\right.\right.\)
c) En déduire que pour tout \(x \in[0,+\infty], 0 \leq F_{k}(x) \leq \frac{1}{k}\)
d) Montrer alors que la fonction \(F_{k}\) possède une limite finie \(1_{k}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\)
e) Montrer que \(\lim _{k \rightarrow+\infty} 1_{k}=0\)
2) a) En utilisant la question \(1.5 .\) a) montrer que \(1_{1}=-h(0)\)
b) Montrer que pour tout réel \(t \in[0,+\infty], \quad(f(t))^{3}-f(t)=f^{\prime}(t)\)
c) En déduire que pour tout \(x \geq 0, F_{3}(x)=F_{1}(x)+f(x)-f(0)\)
d) Montrer que \(1_{3}=\ln (1+\sqrt{2})-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
3) a) Montrer que pour tout \(x \geq 0\) et pour tout \(k \geq 2\) \(F_{2 k+1}(x)-F_{2 k-1}(x)=\frac{1}{2 k-1}\left((f(x))^{2 k-1}-(f(0))^{2 k-1}\right)\)
b) En déduire que \(1_{2 k+1}-1_{2 k-1}=\frac{-1}{(2 k-1)(\sqrt{2})^{2 k-1}}, k \geq 2\)
c) Montrer que \(\quad 1_{2 x+1}=1_{3}-\sum_{m=2}^{k} \frac{1}{(2 m-1)(\sqrt{2})^{2 m-1}}, k \geq 2\)
d) En déduire \(\lim _{k \rightarrow+\infty} \sum_{m-2}^{k} \frac{1}{(2 m-1)(\sqrt{2})^{2 m-1}}\)
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