Baccalauréat Section Math Session Principal 2020 Épreuve math PDF

Épreuve math Baccalauréat Section Math

Session Principal juillet 2020 –PDF–

Duré de l’épreuve: 4 heures

Exercice 1: (5 points )

Exercice 2: (4 points )

Exercice 3: (4 points )

Exercice 4: (7 points )

* Exercice 1: (5 points ) *

Le plan est orienté. Dans la figure ci-contre,

ABC est un triangle direct, non rectangle et non isocèle.

GAC et EBA sont des triangles directs, rectangles et isocèles respectivement en G et en E.

L, K, I et J sont les milieux respectifs des côtés [BC],[GE],[EL] et [GL].

F et H sont les symétriques respectifs de G et J par rapport à L.

On note

r_{1}

r_{2}

les rotations de même angle

\frac{π}{2}

et de centres respectifs G et E.

S_{L}

désigne la symétrie centrale de centre

L

1) a) Déterminer

r_{2} o S_{L} o r_{1} (A)

Caractériser

r_{2} o S_{L} o r_{1}

b) En déduire que le triangle EFG est rectangle, isocèle.

c) Justifier que le quadrilatère LJKI est un carré.

2) Soit

φ

la symétrie glissante de vecteur

\vec{L K}

et d’axe (Δ) passant par I

On pose

g = φ o S_{(L E)}

, où

S_{(L E)}

est la symétrie orthogonale d’axe (LE).

a) Montrer que Δ=( IH)

b) Montrer que g(J)=I et g(L)=E

c) Prouver que

g

est la rotation de centre K et d’angle

- \frac{π}{2}

3) Soit

f

l’antidéplacement qui envoie J en I et L en E.

a) Justifier que

f

est une symétrie glissante.

b) Donner les éléments caractéristiques de

f

4) Soit M un point du plan.

Soient M’et M » les images de M respectivement par

f

g

Montrer que M’ et M » sont symétriques par rapport à une droite fixe que l’on précisera.

* Exercice 2: (4 points) *

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O,u,v).

Dans la figure 1

(Г)

est le cercle de centre O et de rayon

\sqrt{2}

A, B et C sont les points d’affixes respectives 1, i

\sqrt{2}

et -i

\sqrt{2}

Soit Q un point du cercle (

Г

) d’affixe un nombre complexe a,

distinct de i

\sqrt{2}

- i \sqrt{2}

1) On désigne par R le point d’affixe a+

\bar{a}

a) Vérifier que R∊

(0, \vec{u})

. Construire R.

b) Déterminer les nombres complexes a pour lesquels O,R et Q sont alignés.

2) Soit P le point du plan d’affixe ia et M un point d’affixe z non nul.

a) Justifier que P est l’image de Q par une rotation que l’on précisera.

Construire P.

b) Montrer que:

A, P et M sont alignes ⇔

i \bar{a} + 1) z + (i a - 1) \bar{z} = i (a + \bar{a})

c) Montrer que:

(A P) ⊥ (O M) \Leftrightarrow (i \bar{a} + 1) z - (i a - 1) \bar{z} = 0

d) Soit H le projeté orthogonal de O sur (AP).

On désigne par

Z_{H}

, l’affixe du point H.

Justifier que

Z_{H} = \frac{i (a + \bar{a})}{2 (\bar{i} a + 1)}

3) Soit N le point d’affixe

Z_{N} = \frac{(a + \bar{a})}{(i \bar{a} + 1)}

a) Vérifier que N est limage de H par une similitude que l’on déterminera.

b) Construire le point N

c) Déterminer l’ensemble sur lequel varie le point N

lorsque Q varie sur le cercle (

Г

) prive des points B et C.

* Exercice 3 (4 points) *

On considéré la suite

(a_{n})

définie sur IN par:

\(a_{n} = 2 \times 5^{n} + 7

1) a) Justifier que pour tout entier naturel n

a_{n}

est impair.

b) Déterminer suivant les valeurs de n, le reste modulo 8 de

5^{n}

c) En déduire que pour tout

n ∊ I N, a_{n} = 1 (m o d 8)

2) a) Montrer que si

{\begin{cases} x = 1 (mod 8) \\ x = 7 (mod 125) \end{cases} alors x = 257 (mod 1000)

b) Montrer que pour tout

n \geq 3, a_{n} = 257 (mod 1000)

c) Quels sont les trois derniers chiffres de

(2 \times 5^{2020} + 7) (2 \times 5^{2021} + 7) ?

3) a) Vérifier que pour tout

n \in N, 5 a_{2 n} - a_{2 n + 1} = 28

b) Soit dle PGCD de

a_{2 n}

a_{2 n + 1}

. Montrer que dest différent de 7 .

c) Trouver alors d.

* Exercice 4 : (7 points) *

I. Soit fla fonction definie sur

R

par

f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2 x}}}

On désigne par (

ζ

) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i.j) du plan P.

1) Montrer que

f

est derivable sur

R

et que pour tout réel

x, f^{'} (x) = \frac{- e^{2 x}}{(1 + e^{2 x}) \sqrt{1 + e^{2 x}}}

2) a) Determiner

lim_{x \to + \infty} f (x)

lim_{x \to - \infty} f (x) .

Interpreter graphiquement les resultats obtenus.

b) Vérifier que pour tout réel

x, 0 < f (x) < 1

3) a) Dresser le tableau de variation de

f

b) Montrer que

f

realise une bijection

f^{- 1}

R

sur un intervalle J que l’on précisera.

c) Montrer que Yéquation

f (x) = x

admet une unique solution

α

telle que

0, 5 < α < 0, 6

d) Déterminer le signe de

f (x) - x

pour tout réel

x

Interpreter graphiquement le résultat

4) Dans la figure 2

On a construire la droite d’équation y-x

et on a placé le réel

α

sur l’axe des abscisses

et le réel

\frac{\sqrt{2}}{2}

sur l’axe des ordonnées.

a) Tracer la courbe

(ζ)

b) Tracer la courbe

(ζ^{'})

f^{- 1}

5) a) Montrer que la fonction h definie sur

R

par

h (x) = x - \ln (1 + \sqrt{1 + e^{2 x}})

est une primitive de

b) On désigne par A raire de la partie du plan délimitée par la courbe (

ζ

), raxe des abscisses et les droites d’équations respectives

x = 0

x = α

Montrer que

A = α + \ln (\frac{α (1 + \sqrt{2})}{α + 1})

II. Pour tout

k \in N^{*},

on considère la fonction

F_{k}

définie sur

[0, + \infty [. par F_{k} (x) = \int_{0}^{x} (f (t))^{k} d t

1) a) Montrer que la fonction

F_{k}

est croissante sur

[0, + \infty]

b) Montrer que pour tout réel

t \in [0, + \infty [, 0 \leq (f (t))^{k} \leq e^{- k t}

c) En déduire que pour tout

x \in [0, + \infty], 0 \leq F_{k} (x) \leq \frac{1}{k}

d) Montrer alors que la fonction

F_{k}

possède une limite finie

1_{k}

quand

x

tend vers

+ \infty

e) Montrer que

lim_{k \to + \infty} 1_{k} = 0

2) a) En utilisant la question

1.5 .

a) montrer que

1_{1} = - h (0)

b) Montrer que pour tout réel

t \in [0, + \infty], (f (t))^{3} - f (t) = f^{'} (t)

c) En déduire que pour tout

x \geq 0, F_{3} (x) = F_{1} (x) + f (x) - f (0)

d) Montrer que

1_{3} = \ln (1 + \sqrt{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2}

3) a) Montrer que pour tout

x \geq 0

et pour tout

k \geq 2

F_{2 k + 1} (x) - F_{2 k - 1} (x) = \frac{1}{2 k - 1} ((f (x))^{2 k - 1} - (f (0))^{2 k - 1})

b) En déduire que

1_{2 k + 1} - 1_{2 k - 1} = \frac{- 1}{(2 k - 1) (\sqrt{2})^{2 k - 1}}, k \geq 2

c) Montrer que

1_{2 x + 1} = 1_{3} - \sum_{m = 2}^{k} \frac{1}{(2 m - 1) (\sqrt{2})^{2 m - 1}}, k \geq 2

d) En déduire

lim_{k \to + \infty} \sum_{m - 2}^{k} \frac{1}{(2 m - 1) (\sqrt{2})^{2 m - 1}}

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Baccalauréat Section Math 2020 Pr

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