Baccalauréat Section Technique Session Principal 2020 Épreuve math PDF

Baccalauréat Section Technique
Baccalauréat Section Technique Session Principal 
juillet 2020 Épreuve math PDF
Duré de  l’épreuve: 3 heures
Exercice 1: (4 points )
Exercice 2: (5 points )
Exercice 3: (5 points )
Exercice 4: (6 points )
* Exercice 1: (4 points ) *
On considère deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher.
¿Lurne U1 contient trois boules blanches et deux boules noires.
. L’urne U2 contient une boule blanche et deux boules noires.
Une épreuve consiste à tirer au hasard une boule de U1 et la mettre dans U2, puis tirer au
hasard une boule de U2 et la mettre dans U1
Soient les événements:
B1: พ La boule tirée de U1 est blanche  » et B2: พ La boule tirée de U2 est blanche N
1) a) Vérifier que P(B2/B1)=0,5
b) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous associé à cette épreuve.

c) Montrer que P(B2)=0,4

d) Sachant que la boule tirée de l’urne U2 est blanche, qu’elle est la probabilité que la
boule tirée de U1 soit blanche ?
2) Soit l’événement E: κ La boule tirée de U1 est blanche et la boule tirée de U2 est noire y.
Vérifier que P(E)=0,3
3) Calculer la probabilité de l’événement F: w A la fin de l’épreuve, la répartition des boules
dans les deux urnes reste inchangée
4) On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules noires
restant dans l’urne U2 à la fin de l’épreuve.
a) Déterminer la loi de probabilité de x.
b) Calculer l’espérance mathématique de x.

* Exercice 2: (5 points ) *
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé(0,i→,j→,k→) 
on considère les pointsA(2,0,2),B(2,1,1),C(1,2,1) et E(−1,−1,0)
1) a) Montrer que AB→∧AC→=i→+j→+k→
b) Montrer que l’aire du triangle ABC est égale à 32
2) a) Montrer que les points A,B,C et E sont non coplanaires.
b) Calculer le volume du tétraèdre EABC.
c) Montrer que la distance du point E au plan (ABC) est égale à 23
3) Soit Δ la droite passant par E et perpendiculaire au plan (ABC).
a) Vérifier que le système:
{x=−1+αy=−1+α;α∈IR, est une représentation paramétrique de Δz=α
b) Vérifier que le point I(1,1,2) appartient à Δ
c) Montrer que le point I est le centre du cercle (「) circonscrit au triangle ABC.
4) Soit S l’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace vérifiant : x2+y2+z2+2x+2y−12=0
a) Montrer que Sest la sphère de centre E et de rayon 14
b) Montrer que le plan (ABC) coupe la sphère S suivant le cercle Γ
5) Soient F le point défini par IF→=12EF→ et S ‘ la sphère de centre F et de rayon 14 Montrer que le plan (ABC) coupe la sphère S’ suivant le cercle

* Exercice 3: (5 points ) *
1) Résoudre dans C, l’équation, z2−2(1+i)z−1+i=0
2) Soit dans C, l’équation
(E) :z3−2(2+i)z2+(1+3i)z+2(1−i)=0
a) Vérifier que 2 est une solution de (E).
b) Montrer que pour tout nombre complexe z
z3−2(2+i)z2+(1+3i)z+2(1−i)=(z−2)(z2−2(1+i)z−1+i)
c) Résoudre alors l’équation (E).
3) On considère, dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (O,u, ) , les points
A,B d’affixes respectives: zA=1+22+i22 et zB=−1+22+i22
a) Montrer que zB=i(2−1)zA
b) En déduire que le triangle OAB est rectangle en 0 .
4) a) Déterminer l’affixe du point I milieu du segment [AB] et le mettre sous forme exponentielle.
b) Construire le point I dans la figure1 ci jointe:

5) Soit ( ζ ) le cercle circonscrit au triangle OAB.

a) Montrer que I est le centre de (ζ)
b) Montrer que la droite (AI) est parallèle à l’axe des abscisses.
c) Construire les points Ae t B dans la figure1.
6) La perpendiculaire à la droite (OI) et passant par le point I coupe la droite (O,u) en un point C.
Déterminer l’affixe de C.

* Exercice 4: (6 points ) *

Soit f la fonction définie sur IR par: f(x)=e2x−2ex+2
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0,i→,j→) du plan.
1) a) Calculer limx→−∞f(x). Interpréter graphiquement le résultat.
b) Calculer limx→+∞f(x) et limx→+∞f(x)x. Interpréter graphiquement le résultat.
2) a) Montrer que pour tout réel x,f′(x)=2ex(ex−1)
b) Dresser le tableau de variations de f
3) a) Montrer que pour tout réel x,f′′(x)=2ex(2ex−1) où f′′ désigne la fonction dérivée
seconde de f.
b) En déduire que le point A(−ln⁡2,54) est un point d’inflexion de la courbe (C)
4) On a tracé dans la figure 2 ci-jointe:

 la tangente T a la courbe (C) au point A.

a) Vérifier que le point B(ln⁡2,2) appartient à la courbe
(C) et le construire dans la figure 2
b) Construire la courbe (C) dans le repère (0,i→,j→).
5) Soit A l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites
d’équations x=0 et x=ln⁡2. Montrer que A=2ln⁡2−12
6) Soit g la restriction de fà l’intervalle [0,+∞[
a) Montrer que g réalise une bijection de [0,+∞[ sur [1,+∞[
b) Montrer que pour tout x∈[1,+∞[,g−1(x)=ln⁡(1+x−1)
c) Construire, dans le repère(O,i,j), la courbe (C’) de la fonction réciproque g−1 de g.
d) En exploitant le graphique, calculer ∫12ln⁡(1+x−1)dx
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