Baccalauréat Section Technique Session Principal
juillet 2020 Épreuve math PDF
juillet 2020 Épreuve math PDF
Duré de l’épreuve: 3 heures
Exercice 1: (4 points )
Exercice 2: (5 points )
Exercice 3: (5 points )
Exercice 4: (6 points )
* Exercice 1: (4 points ) *
On considère deux urnes \(U_{1}\) et \(U_{2}\) contenant des boules indiscernables au toucher.
¿Lurne \(U_{1}\) contient trois boules blanches et deux boules noires.
. L’urne \(U_{2}\) contient une boule blanche et deux boules noires.
Une épreuve consiste à tirer au hasard une boule de \(U_{1}\) et la mettre dans \(U_{2},\) puis tirer au
hasard une boule de \(U_{2}\) et la mettre dans \(U_{1}\)
Soient les événements:
\(B _{1}:\) พ La boule tirée de \(U _{1}\) est blanche » et \(B _{2}:\) พ La boule tirée de \(U _{2}\) est blanche \(N\)
1) a) Vérifier que \(P\left(B_{2} / B_{1}\right)=0,5\)
b) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous associé à cette épreuve.
c) Montrer que \(P\left(B_{2}\right)=0,4\)
d) Sachant que la boule tirée de l’urne \(U_{2}\) est blanche, qu’elle est la probabilité que la
boule tirée de \(U_{1}\) soit blanche ?
2) Soit l’événement E: \(\kappa\) La boule tirée de \(U_{1}\) est blanche et la boule tirée de \(U_{2}\) est noire \(y\).
Vérifier que \(P(E)=0,3\)
3) Calculer la probabilité de l’événement \(F:\) w \(A\) la fin de l’épreuve, la répartition des boules
dans les deux urnes reste inchangée
4) On désigne par \(X\) la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules noires
restant dans l’urne \(U_{2}\) à la fin de l’épreuve.
a) Déterminer la loi de probabilité de \(x\).
b) Calculer l’espérance mathématique de \(x\).
* Exercice 2: (5 points ) *
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé\((0,\vec{ i},\vec{ j},\vec{ k})\)
on considère les points\(A(2,0,2), B(2,1,1), C(1,2,1)\) et \(E(-1,-1,0)\)
1) a) Montrer que \(\overrightarrow{ AB } \wedge \overrightarrow{ AC }=\overrightarrow{ i }+\overrightarrow{ j }+\overrightarrow{ k }\)
b) Montrer que l’aire du triangle ABC est égale à \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
2) a) Montrer que les points \(A, B, C\) et \(E\) sont non coplanaires.
b) Calculer le volume du tétraèdre EABC.
c) Montrer que la distance du point E au plan (ABC) est égale à \(2 \sqrt{3}\)
3) Soit \(\Delta\) la droite passant par \(E\) et perpendiculaire au plan (ABC).
a) Vérifier que le système:
\(\left\{\begin{array}{l}x=-1+\alpha \\ y=-1+\alpha ; \alpha \in IR, \text { est une représentation paramétrique de } \Delta \\ z=\alpha\end{array}\right.\)
b) Vérifier que le point \(I(1,1,2)\) appartient à \(\Delta\)
c) Montrer que le point I est le centre du cercle (「) circonscrit au triangle ABC.
4) Soit S l’ensemble des points \(M(x, y, z)\) de l’espace vérifiant : \(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+2 y-12=0\)
a) Montrer que Sest la sphère de centre E et de rayon \(\sqrt{14}\)
b) Montrer que le plan (ABC) coupe la sphère S suivant le cercle \(\Gamma\)
5) Soient \(F\) le point défini par \(\overrightarrow{ IF }=\frac{1}{2} \overrightarrow{ EF }\) et \(S\) ‘ la sphère de centre \(F\) et de rayon \(\sqrt{14}\) Montrer que le plan (ABC) coupe la sphère S’ suivant le cercle
* Exercice 3: (5 points ) *
1) Résoudre dans \(C\), l’équation, \(z^{2}-\sqrt{2}(1+i) z-1+i=0\)
2) Soit dans \(C\), l’équation
(E) \(: z^{3}-\sqrt{2}(2+i) z^{2}+(1+3 i) z+\sqrt{2}(1-i)=0\)
a) Vérifier que \(\sqrt{2}\) est une solution de (E).
b) Montrer que pour tout nombre complexe \(z\)
\(z^{3}-\sqrt{2}(2+i) z^{2}+(1+3 i) z+\sqrt{2}(1-i)=(z-\sqrt{2})\left(z^{2}-\sqrt{2}(1+i) z-1+i\right)\)
c) Résoudre alors l’équation (E).
3) On considère, dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (O,u, ) , les points
\(A, B\) d’affixes respectives: \(z_{A}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(z_{B}=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\)
a) Montrer que \(z_{B}=i(\sqrt{2}-1) z_{A}\)
b) En déduire que le triangle OAB est rectangle en 0 .
4) a) Déterminer l’affixe du point I milieu du segment [AB] et le mettre sous forme exponentielle.
b) Construire le point I dans la figure1 ci jointe:
5) Soit ( \(\zeta\) ) le cercle circonscrit au triangle OAB.
a) Montrer que I est le centre de \((\zeta)\)
b) Montrer que la droite (AI) est parallèle à l’axe des abscisses.
c) Construire les points Ae t B dans la figure1.
6) La perpendiculaire à la droite (OI) et passant par le point I coupe la droite (O,u) en un point C.
Déterminer l’affixe de C.
* Exercice 4: (6 points ) *
Soit \(f\) la fonction définie sur IR par: \(f(x)=e^{2 x}-2 e^{x}+2\)
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((0,\vec{ i},\vec{ j})\) du plan.
1) a) Calculer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\). Interpréter graphiquement le résultat.
b) Calculer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\) et \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x} .\) Interpréter graphiquement le résultat.
2) a) Montrer que pour tout réel \(x, f^{\prime}(x)=2 e^{x}\left(e^{x}-1\right)\)
b) Dresser le tableau de variations de \(f\)
3) a) Montrer que pour tout réel \(x, f^{\prime \prime}(x)=2 e^{x}\left(2 e^{x}-1\right)\) où \(f^{\prime \prime}\) désigne la fonction dérivée
seconde de f.
b) En déduire que le point \(A\left(-\ln 2, \frac{5}{4}\right)\) est un point d’inflexion de la courbe (C)
4) On a tracé dans la figure 2 ci-jointe:
la tangente \(T\) a la courbe (C) au point A.
a) Vérifier que le point \(B(\ln 2,2)\) appartient à la courbe
(C) et le construire dans la figure 2
b) Construire la courbe (C) dans le repère \((0,\vec{ i},\vec{ j})\).
5) Soit \(A\) l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites
d’équations \(x=0\) et \(x=\ln 2 .\) Montrer que \(A =2 \ln 2-\frac{1}{2}\)
6) Soit g la restriction de fà l’intervalle \([0,+\infty[\)
a) Montrer que g réalise une bijection de \([0,+\infty[\text { sur }[1,+\infty[\)
b) Montrer que pour tout \(x \in\left[1,+\infty\left[, g^{-1}(x)=\ln (1+\sqrt{x-1})\right.\right.\)
c) Construire, dans le repère(O,i,j), la courbe (C’) de la fonction réciproque \(g^{-1}\) de \(g\).
d) En exploitant le graphique, calculer \(\int_{1}^{2} \ln (1+\sqrt{x-1}) d x\)
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