Examen national maths Bac pro Commerce et Comptabilité Avec Correction 2018 Session Normal

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* Les Suites Numérique (4 points )

On considère la suite numérique (

U_{n})_{n \in N}

définie par :

u_{0} = 4

u_{n + 1} = \frac{1}{4} u_{n} + 1

pour tout n de

N

.
Ou pose pour tout n de

N

v_{n} = u_{n} - \frac{4}{3}

.
1. Calculer

u_{1}

u_{2}

(0.5)
2.a. Calculer

v_{0}

(0.25)
2.b. Montrer pour tout n de

N

v_{n + 1} = \frac{1}{4} v_{n}

(0.5)
2.c. Exprimer

v_{n}

en fonction de n justifiant la réponse. (0.75)
3.a. Montrer que pour tout n de

N

u_{n} = \frac{4}{3} (1 + 2 {(\frac{1}{4})}^{n})

. (0.75)
3.b. Calculer

lim_{n ⇾ + o o} u_{n}

. (0.5)
4.Déterminer la plus petite valeur

n_{0}

de n vérifiant

u_{n} \leq \frac{4}{3} (1 + 2 \times 10^{- 2018})

(0.75)
On prendra: log(4)≃0.60205 (où désigne le logarithme décimal ).

* Probabilités (4 points )

Un sac contient six boules Indiscernables ou toucher : trois boules rouges, deux boules vertes et une boule noire. On lire simultanément au hasard deux boules du soc.
Ou considère les événements suivants :
A : « Les deux boules tirées sont vertes ,.
B: « L’une des boules tirée est verte et l’autre est noir »
C : « Les deux boules tirées sont de même couleur »
D : « Les deux boules tirées sont de couleurs différentes »
l.a. Montrer que le nombre de tirages possibles est égal à 15.
b. Calculer p(A) et p(B).
c. Calculer p(C) et en déduire que p(D)=

\frac{11}{15}

2. Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules vertes tirées.
2.a. Copier et compléter le tableau ci – contre en justifiant les réponses.

2.b. Calculer E(X) l’ésprence mathématique de la variable aléatoire X.

* Etudes de Fonctions (12 points )

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur

R

par: f(x) =

e^{x} + x - e^{- x}

et soit (C) la courbe représentative dans un repère orthonormé (O,

\vec{i}

\vec{j}

).
1.lontrer que la fonction f est impaire.
2.a. Calculer

lim_{x ⇾ + o o} f (x)

.
b. Caluler

lim_{x ⇾ + o o} \frac{f (x)}{x}

et donner une interprétation géomélrique du résultat.
3.a. Calculer f ‘(x) pour tout x de

R

.
3.b. Calculer f(0) puis dresser le tableau f de variations de f (sur

R

)
4.a. Montrer quef « (x) =

e^{x} - e^{- x}

pour tout x de

R

b. Montrer que O(0,0) est une point d’inflexion de (C).
c. Donner l’équa1ion del » 1angenlt (T)à la courbe ( C) au point 0(0,0).
5. Dans la figure ci-dessous ( C) es1 la courbe représentative de f dans le repère orthonormé (O,

\vec{i}

\vec{j}

). Calculer l’aire de la partie hachurée.
Partie Il
Soit g la fonction munérlque de la variable réelle r définie sur

R

par : g(x)=

e^{x} + e^{- x} + \frac{x^{2}}{2}

.
1. Montrer que g est une primitive de f sur

R

.
2. Donner à partir de la courbe ( C) le signc de la fonction f.
3.a.Calculer g(0) et dresser le tableau de variations de g sur

R

.
(le calcul des limites de g en +oo et en -oo n’est pns demandé).
3.b. En déduire que 2Une valeur minimale de la fonction g sur

R

Correction

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