Examen national maths bac pro commerce et comptabilité Avec Correction 2018 Session Normal
* Les Suites Numérique (4 points )
On considère la suite numérique (\(U_n)_{n∈\mathbb{N}}\) définie par : \(u_{0}=4\) et \(u_{n+1}=\frac{1}{4}u_{n}+1\) pour tout n de \(\mathbb{N}\).
Ou pose pour tout n de \(\mathbb{N}\) : \(v_{n}=u_{n}-\frac{4}{3}\).
1. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\) (0.5)
2.a. Calculer \(v_{0}\) (0.25)
2.b. Montrer pour tout n de \(\mathbb{N}\) : \(v_{n+1}=\frac{1}{4}v_{n}\) (0.5)
2.c. Exprimer \(v_n\) en fonction de n justifiant la réponse. (0.75)
3.a. Montrer que pour tout n de \(\mathbb{N}\) : \(u_n=\frac{4}{3}(1+2\left ( \frac{1}{4} \right )^n)\). (0.75)
3.b. Calculer \(\lim_{n⇾+oo} u_{n}\). (0.5)
4.Déterminer la plus petite valeur \(n_{0}\) de n vérifiant \(u_n≤\frac{4}{3}\left (1+2\times10^{-2018} \right )\) (0.75)
On prendra: log(4)≃0.60205 (où désigne le logarithme décimal ).
* Probabilités (4 points )
Ou pose pour tout n de \(\mathbb{N}\) : \(v_{n}=u_{n}-\frac{4}{3}\).
1. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\) (0.5)
2.a. Calculer \(v_{0}\) (0.25)
2.b. Montrer pour tout n de \(\mathbb{N}\) : \(v_{n+1}=\frac{1}{4}v_{n}\) (0.5)
2.c. Exprimer \(v_n\) en fonction de n justifiant la réponse. (0.75)
3.a. Montrer que pour tout n de \(\mathbb{N}\) : \(u_n=\frac{4}{3}(1+2\left ( \frac{1}{4} \right )^n)\). (0.75)
3.b. Calculer \(\lim_{n⇾+oo} u_{n}\). (0.5)
4.Déterminer la plus petite valeur \(n_{0}\) de n vérifiant \(u_n≤\frac{4}{3}\left (1+2\times10^{-2018} \right )\) (0.75)
On prendra: log(4)≃0.60205 (où désigne le logarithme décimal ).
* Probabilités (4 points )
Un sac contient six boules Indiscernables ou toucher : trois boules rouges, deux boules vertes et une boule noire. On lire simultanément au hasard deux boules du soc.
Ou considère les événements suivants :
A : « Les deux boules tirées sont vertes ,.
B: « L’une des boules tirée est verte et l’autre est noir »
C : « Les deux boules tirées sont de même couleur »
D : « Les deux boules tirées sont de couleurs différentes »
l.a. Montrer que le nombre de tirages possibles est égal à 15.
b. Calculer p(A) et p(B).
c. Calculer p(C) et en déduire que p(D)=\(\frac{11}{15}\)
2. Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules vertes tirées.
2.a. Copier et compléter le tableau ci – contre en justifiant les réponses.
Ou considère les événements suivants :
A : « Les deux boules tirées sont vertes ,.
B: « L’une des boules tirée est verte et l’autre est noir »
C : « Les deux boules tirées sont de même couleur »
D : « Les deux boules tirées sont de couleurs différentes »
l.a. Montrer que le nombre de tirages possibles est égal à 15.
b. Calculer p(A) et p(B).
c. Calculer p(C) et en déduire que p(D)=\(\frac{11}{15}\)
2. Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules vertes tirées.
2.a. Copier et compléter le tableau ci – contre en justifiant les réponses.
2.b. Calculer E(X) l’ésprence mathématique de la variable aléatoire X.
* Etudes de Fonctions (12 points )
On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur \(\mathbb{R}\) par: f(x) = \(e^x+x-e^{-x}\) et soit (C) la courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\(\overrightarrow{i}\),\(\overrightarrow{j}\)).
1.lontrer que la fonction f est impaire.
2.a. Calculer \(\lim_{x⇾+oo} f(x)\).
b. Caluler \(\lim_{x⇾+oo} \frac{f(x)}{x}\) et donner une interprétation géomélrique du résultat.
3.a. Calculer f ‘(x) pour tout x de \(\mathbb{R}\).
3.b. Calculer f(0) puis dresser le tableau f de variations de f (sur \(\mathbb{R}\))
4.a. Montrer quef « (x) = \(e^x-e^{-x}\) pour tout x de \(\mathbb{R}\)
b. Montrer que O(0,0) est une point d’inflexion de (C).
c. Donner l’équa1ion del » 1angenlt (T)à la courbe ( C) au point 0(0,0).
5. Dans la figure ci-dessous ( C) es1 la courbe représentative de f dans le repère orthonormé (O,\(\overrightarrow{i}\),\(\overrightarrow{j}\)). Calculer l’aire de la partie hachurée.
Partie Il
Soit g la fonction munérlque de la variable réelle r définie sur \(\mathbb{R}\) par : g(x)=\(e^x+e^{-x}+\frac{x^2}{2}\).
1. Montrer que g est une primitive de f sur \(\mathbb{R}\).
2. Donner à partir de la courbe ( C) le signc de la fonction f.
3.a.Calculer g(0) et dresser le tableau de variations de g sur \(\mathbb{R}\).
(le calcul des limites de g en +oo et en -oo n’est pns demandé).
3.b. En déduire que 2Une valeur minimale de la fonction g sur \(\mathbb{R}\).
1.lontrer que la fonction f est impaire.
2.a. Calculer \(\lim_{x⇾+oo} f(x)\).
b. Caluler \(\lim_{x⇾+oo} \frac{f(x)}{x}\) et donner une interprétation géomélrique du résultat.
3.a. Calculer f ‘(x) pour tout x de \(\mathbb{R}\).
3.b. Calculer f(0) puis dresser le tableau f de variations de f (sur \(\mathbb{R}\))
4.a. Montrer quef « (x) = \(e^x-e^{-x}\) pour tout x de \(\mathbb{R}\)
b. Montrer que O(0,0) est une point d’inflexion de (C).
c. Donner l’équa1ion del » 1angenlt (T)à la courbe ( C) au point 0(0,0).
5. Dans la figure ci-dessous ( C) es1 la courbe représentative de f dans le repère orthonormé (O,\(\overrightarrow{i}\),\(\overrightarrow{j}\)). Calculer l’aire de la partie hachurée.
Partie Il
Soit g la fonction munérlque de la variable réelle r définie sur \(\mathbb{R}\) par : g(x)=\(e^x+e^{-x}+\frac{x^2}{2}\).
1. Montrer que g est une primitive de f sur \(\mathbb{R}\).
2. Donner à partir de la courbe ( C) le signc de la fonction f.
3.a.Calculer g(0) et dresser le tableau de variations de g sur \(\mathbb{R}\).
(le calcul des limites de g en +oo et en -oo n’est pns demandé).
3.b. En déduire que 2Une valeur minimale de la fonction g sur \(\mathbb{R}\).
Correction
Examen national maths bac pro commerce et comptabilité Avec Correction 2018 Session Normal