Examen Mathématique bac 2 Avec Correction Pc & Svt 2019 Session Normal

Examen Mathématique bac 2 Avec Correction National 2019 Pc & Svt Session Normal

* Géométrie dans l’espace (3 points )

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (O, $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ ), on considère les points A(l,-1,-1), B(0,-2,1) et C(1,-2,0).
1) a) Montrer que $\vec{A B}$ ៱ $\vec{A C}$ = $\vec{i}$ + $\vec{j}$ + $\vec{k}$ . (0.75)
b) En déduire que x+y+z +1=0 est une équation cartésienne du plan (ABC). (0.5)
2) Soit (S) la sphère d’équation x²+y²+z²-4x+2y-+1=0. (0.75)
Montrer que le centre de la sphère (S) est Ω(2,-1,1) et que son rayon est R = $\sqrt{5}$ .
3) a) Calculer d(Ω,(ABC))Ia distance du point 0 au plan (ABC). (0.5)
b) En déduire que le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle (Γ) (la détermination du centre et du rayon de (Γ) n’est pas demandée). (0.5)

* Nombres complexes (3 points )

1) Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation : z²-2z+4=0. (0.75)
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct(O,

\vec{u}

\vec{v}

), on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a= 1-i

\sqrt{3}

, b=2+2i, c=

\sqrt{3}

+ i et d=-2+2

\sqrt{3}

.
a) Vérifier que a-d=

- \sqrt{3}

(c-d). (0.5)
b) En déduire que les points A , C et D sont alignés. (0.25)
3) On considère z l’affixe d’un point M et z’ l’affixe de M’ image de M par la rotation R de centre 0 et d’angle

\frac{- π}{3}

.
Vérifier que z’=

\frac{1}{2}

az. (0.5)
4) Soient H l’image du point B par la rotation R, h son affixe et P le point d’affixe p tel que p=a-c.
a) Vérifier que h=ip. (0.5)
b) Montrer que le triangle OHP est rectangle et isocèle en O. (0.5)

* Dénombrement et probabilités (3 points )

une urne contient dix boules : trois boules vertes, six boules rouges et une boule noire indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne.
on considère les événements suivants :
A : « Obtenir trois boules vertes . »
B : « Obtenir trois boules de même couleur. »
C : « Obtenir au moins deux boules de même couleur. »
1) Montrer que

p (A) = \frac{1}{120}

p (B) = \frac{7}{40}

. (2)
2) Calculer p(C). (1)

* Etudes de Fonctions (11 points )

Première partie :
Soit f la fonction numérique définie sur ]0,+∞[ par:

f (x) = x + \frac{1}{2} - l n (x) + \frac{1}{2} (l n (x)) ²

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,

\vec{i}

\vec{j}

) (unité: 1 cm).
1) Calculer

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ x > 0 \end{matrix}} f (x)

puis interpréter le résultat géométriquement. (0.5)

2) a) Vérifier que pour toutx de ]0,+∞[,

f (x) = x + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} l n (x) - 1) l n (x)

. (0.25)

b) En déduire que

lim_{x ⇾ + o o} f (x) = + o o

. (0.5)

c) Montrer que pour tout x de ]0,+∞[,

\frac{l n (x)^{2}}{x} = 4 {(\frac{l n (\sqrt{x})}{\sqrt{x}})}^{2}

. (0.5)

pius en déduire que

lim_{x ⇾ + o o} \frac{l n (x)^{2}}{x} = 0

.
d) Montrer que (C) admet au voisinage de +oo une branche parabolique de direction asymptotique la droite (Δ) d’équation y=x. (0.75)
3)a) Montrer que pour tout x de ]0,1] : (x-1)+ln x≤0 (0.5)
et que pourtout x de [l ,+oo[ : (x- 1)+ln x≥O. (0.5)
b) Montrer que pour tout x de ]0,+oo[,

f^{'} (x) = \frac{x - 1 + l n (x)}{x}

. (1)
c) Dresser le tableau de variations de la fonction f. (0.5)
4) a) Montrer que

f « (x) = \frac{2 - l n (x)}{x^{2}}

pour tout x de ]0,+oo[. (0.5)
b) En déduire que (C) admet un point d’inflexion dont on déterminera les coordonnées. (0.5)
5)a) Montrer que pour tout x de ]0,+oo[,

f (x) - x = \frac{1}{2} (l n (x))^{2}

et déduire la position relative de (C) et (Δ). (0.5)
b) Construire (Δ) et (C) dans le même repère (O,

\vec{i}

\vec{j}

). (1)
6)a) Montrer que la fonction H: x➝x ln(x)-x. est une primitive de la fonction h: x➝ln(x). sur ]0,+oo[. (0.5)
b) A l’alde d’une intégration par parties, montrer que

\int_{1}^{e} l n (x)^{2} d x = e - 2

. (0.75)
c) Calculer en cm² 1’aire du domaine plan limité par (C) et (Δ) et les droites d’équations x=1 et x=e. (0.5)

Deuxième partie :
Soit (

U_{n})

la suite numérique définie par: u0=1 et

U_{n + 1} = f (U_{n})

pour tout n de IN
1) a)Montrer par récurrence que

1 ≦ U_{n} ≦ e

pour tout n de IN. (0.5)

b) Montrer que la suite (

U_{n})

est croissante. (0.5)
c) En déduire que la suite (

U_{n})

est convergente. (0.5)
2) Calculer la limite de la suite (

U_{n})

. (0.75)

Correction

* Géométrie dans l’espace

1.a.. Montrer que :

\vec{A B} \land \vec{A C} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(0, i, j, \vec{k}) .$ on a les points $A (1, - 1, - 1)$ et $B (0, - 2, 1)$ et $C (1, - 2, 0)$
$O n a : \vec{A B} (\begin{matrix} 0 - 1 \\ - 2 + 1 \\ 1 + 1 \end{matrix}) = \vec{A B} (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})$ et $\vec{A C} (\begin{matrix} 1 - 1 \\ - 2 + 1 \\ 0 + 1 \end{matrix}) = \vec{A C} (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$
D’où :
\[
\overrightarrow{ AB } \wedge \overrightarrow{ AC }=\left(\begin{array}{c}

-1 \

\end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c}

0 \

-1 \

\end{array}\right)=\left|\begin{array}{cc}

-1 & -1 \

2 & 1

\end{array}\right| \overrightarrow{ i }-\left|\begin{array}{cc}

-1 & 0 \

2 & 1

\end{array}\right| \overrightarrow{ j }+\left|\begin{array}{cc}

-1 & 0 \

-1 & -1

\end{array}\right| \overrightarrow{ k }
\] Donc: $\vec{A B} \land \vec{A C} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

1.b.l’équation cartésienne du plan ( ABC ):

on a: Le vecteur $\vec{A B} \land \vec{A C} (1, 1, 1)$ est un vecteur normal au plan $(A B C)$
donc équation du plan $(A B C)$ est de la forme $: x + y + z + d = 0$
puisque $A (1, - 1, - 1)$ appartienne au plan $(A B C)$
donc $: 1 \times 1 + 1 \times (- 1) + 1 \times (- 1) + d = 0$
d’où $d = 1$

alors:

x + y + z + 1 = 0

est une équation cartésienne du plan

(A B C)

2.Montrer que la sphère (S) a pour centre le point

Ω (2, - 1, 1)

et pour rayon

R = \sqrt{5}

on a :

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 2 z + 1 = 0

\Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 4 - 4 + y^{2} + 2 y + 1 - 1 + z^{2} - 2 z + 1 - 1 + 1 = 0

\Leftrightarrow (x - 2)^{2} - 4 + (y + 1)^{2} - 1 + (z - 1)^{2} - 1 + 1 = 0

\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5 = {\sqrt{5}}^{2}

La dernière écriture représente l’équation cartésienne de la sphère de centre

Ω (2, - 1, 1)

et de rayon

R = \sqrt{5}

Donc: la sphère (S) a pour centre le point

Ω (2, - 1, 1)

et pour rayon

R = \sqrt{5}

3.a) Calcule de d (Ω,(ABC):
On a :

Ω (2, - 1, 1)

x + y + z + 1 = 0

est une équation cartésienne du plan

(A B C)

d’ où:

d (Ω, (A B C)) = \frac{| 2 - 1 + 1 + 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

Donc:

d (Ω, (A B C)) = \sqrt{3}

3.b) En déduire que le plan

(A B C)

coupe la sphère

(S)

suivant un cercle (

Γ

Puisque le rayon du cercle est

R = \sqrt{5}

d (Ω, (A B C)) = \sqrt{3} < \sqrt{5}

d’où l’intersection du plan

(A B C)

et la sphère

(S)

sera un cercle

(Γ)

Donc: le plan (ABC) coupe la sphère (S) suivant un cercle (

Γ

* Nombres complexes

1.Résoudre dans l’ensemble $C$ des nombres complexes l’équation $z^{2} - 2 z + 4 = 0$

On calcule :le discriminant

Δ

:
On a :

Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 1 \times 4 = 4 - 16 = - 12 < 0

D’où : l’équation a deux solutions complexes conjuguées:

z_{1} = \frac{2 + i \sqrt{- Δ}}{2 \times 1} = \frac{2 + i \sqrt{12}}{2} = \frac{2 + i 2 \sqrt{3}}{2} = 1 + i \sqrt{3}

z_{2} = {\overset{―}{z}}_{1} = 1 - i \sqrt{3}

Donc: ensemble des solutions de l’équation est :

S = {1 + i \sqrt{3}; 1 - i \sqrt{3}}

2.a. Vérifier que :

a - d = - \sqrt{3} (c - d)

les points

A, B, C

D

d’affixes respectives

a = 1 - i \sqrt{3}, b = 2 + 2 i,, c = \sqrt{3} + i

d = - 2 + 2 \sqrt{3}

On a :

c - d = \sqrt{3} + i - (- 2 + 2 \sqrt{3}) = - \sqrt{3} + 2 + i

a - d = 1 - i \sqrt{3} - (- 2 + 2 \sqrt{3}) = 3 - 2 \sqrt{3} - i \sqrt{3} = - \sqrt{3} (\frac{- \sqrt{3} + 2 + i}{c - d}) = - \sqrt{3} (c - d)

d’ où:

a - d = - \sqrt{3} (c - d)

Donc:

a - d = - \sqrt{3} (c - d)

2.b. En déduire que : les points points A, C et D sont alignés.

Le vecteur

\vec{D A}

a pour affixe

z_{\vec{D A}} = a - d

Le vecteur

\vec{D C}

a pour affixe

z_{\vec{D C}} = c - d

On a :

\begin{aligned} a - d = - \sqrt{3} (c - d) & \Leftrightarrow z_{\vec{D A}} = - \sqrt{3} z_{\vec{D C}} \\ \Leftrightarrow \vec{D A} = - \sqrt{3} \Leftrightarrow \vec{D C} \end{aligned}

Par suite: les deus vecteurs

\vec{D A}

\vec{D C}

sont colinéaires. donc: les points A et C et D sont alignés.

3. Montrer que : $z^{'} = \frac{1}{2} a z$

Soit z l’affixe du point

M

z

‘ l’affixe du point

M

‘ ; l’image de

M

par la rotation

R

de centre le point

O

d

‘angle

- \frac{π}{3}

L’écriture complexe de la rotation R est de la forme :

z^{'} - ω = (z - ω)

)

^{is}

avec

ω

est l’affixe du centre de la rotation et

θ

est l’angle de la rotation.

D’où : z’- 0 = (z-0)e

(avec

ω = 0

est l’affixe du point

O

centre de la rotation et

θ = \frac{- π}{3}

est l’angle de la rotation

R

\begin{aligned} z^{'} & = z \times (\cos (- \frac{π}{3}) + i \sin (\frac{- π}{3})) \\ = z \times (\cos (\frac{π}{3}) - i \sin (\frac{π}{3})) \end{aligned}

= z (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2})

= z \frac{1}{2} (1 - i \sqrt{3})

= \frac{1}{2} a z; (c a r : 1 - i \sqrt{3} = a)

D’où : L’écriture complexe de la rotation R est z’=

\frac{1}{2}

Donc:

z^{'} = \frac{1}{2} a z

4. a. Vérifier que :

h =

ip.

le point

H

d’affixe h est l’image du point

B

par la rotation

R

, et le point

P

d’affixe

p

tel que

p = a - c

On a:

\begin{aligned} R (B) = H \Leftrightarrow h & = \frac{1}{2} a b \\ \Leftrightarrow h = \frac{1}{2} (1 - i \sqrt{3}) (2 + 2 i) \\ \Leftrightarrow h = (1 - i \sqrt{3}) (1 + i) \\ \Leftrightarrow h = (1 - i \sqrt{3}) + i (1 - i \sqrt{3}) \\ \Leftrightarrow h = \underset{- c}{\underset{⏟}{i (- i - \sqrt{3})}} + \underset{a}{\underset{⏟}{i (1 - i \sqrt{3})}} \\ \Leftrightarrow h = i (a - c) \\ \Leftrightarrow h = i p \end{aligned}

Donc: h=ip

4.b. Montrer que le triangle OHP est rectangle et isocèle en

O

On a:

\begin{aligned} \frac{h - 0}{p - 0} = \frac{i p}{p} = i & \Rightarrow {\begin{matrix} \frac{| h - 0 |}{| p - 0 |} = | i | \\ \Rightarrow {\frac{O H}{O P} = 1 \\ (\vec{O P}, \vec{O H}) = \arg (i) [2 π]; (\frac{h}{p} = i) \\ \Rightarrow {\overset{―}{(\vec{O P}, \vec{O H})} = \frac{π}{2} [2 π] \end{matrix} \end{aligned}

d’ où:

O H = O P

et par suite: le triangle OHP est isocèle en

O

\vec{(\vec{O P}, \vec{O H})} = \frac{π}{2} [2 π]

d’où le triangle OHP est rectangle en

O

Donc: Ie triangle OHP est rectangle et isocèle en

O

* Dénombrement et probabilités

1) Montrer que :

p (A) = \frac{1}{120}

p (B) = \frac{7}{40}

* Montrons que :

p (A) = \frac{1}{120}

* On calcule card(Ω) : (ou encore le nombre des tirages possibles). Tirer simultanément 3 boules parmi 10 boules pressente une combinaison de 3 parmi 10 d’oủ le nombre des tirages possibles est le nombre des combinaisons de 3 parmi 10 ce nombre est :

card Ω = C_{10}^{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{1 \times 2 \times 3} = 120

done

: card Ω = C_{10}^{3} = 120

* On calcule cardA : ( le nombre des tirages qui réalisent I’événement A). P’événement A a les 3 boules tirées sont vertes Tirées 3 boules vertes simultanément parmi 3 boules vertes de l’urne ceci présente une combinaison de 3 parmi 3 Done le nombre des tirages qui réalisent I’evénement $A$ est $C_{3}^{3} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 3} = 1$ ( Remarque $C_{n}^{0} = 1$ )
donc $: card A = C_{3}^{3} = 1$
$p (A) = \frac{card A}{card Ω} = \frac{C_{3}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{120}$ .

* Montrons que :

p (B) = \frac{7}{40}

On calcule cardB : ( le nombre des tirages qui réalisent I’événement B )
I’événement B » les 3 boules tirées sont de même couleur » ou encore 1 ‘événement

B

est « les 3 boules tirées sont vertes ou les boules sont rouges ».
*les 3 boules tirées simultanément sont vertes parmi 3 boules vertes de I’urne
on a : cardA

= C_{3}^{3} = 1

* les 3 boules tirées simultanément sont rouges parmi 6 boules rouges de l’urne
on a :

C_{6}^{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

d’où:

cardB = C_{3}^{3} + C_{6}^{3} = 1 + 20 = 21

donc : p (B) = \frac{card B}{card Ω} = \frac{C_{3}^{3} + C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{21}{120} = \frac{3 \times 7}{3 \times 40} = \frac{7}{40}

p (B) = \frac{7}{40}

2) Calculer

p (C)

* On calcule cardC : ( le nombre des tirages qui réalisent I’événement C).

C

: « au moins deux boules de même couleur »
ou encore

C

: « exactement deux boules de même couleur ou exactement trois boules de même couleur »
L’événement contraire de I’événement C est I’événement:

\overset{―}{C}

: » trois boules de couleurs differentes
Donc:

card \bar{C} = C_{3}^{1} \times C_{6}^{1} \times C_{1}^{1} = 3 \times 6 \times 1 = 18

Par suite cardC

= card Ω - card \bar{C} = 120 - 18 = 102

par suite:

: p (C) = \frac{card C}{card Ω} = \frac{card Ω - card \bar{C}}{C_{10}^{3}} = \frac{120 - 18}{120} = \frac{102}{120} = \frac{6 \times 17}{6 \times 20} = \frac{17}{20}

Donc:

p (C) = \frac{17}{20}

* Etudes de Fonctions

1) * On calcule : $lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} f (x)$ .
On a :
$lim_{x \to 0} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} \ln x = - \infty \Rightarrow {\begin{cases} lim_{x \to 0} - \ln x = + \infty \\ x > 0 \\ lim_{x \to 0} (\ln x)^{2} = + \infty \\ x > 0 \end{cases}$
D’où : $lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} f (x) = lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} x + \frac{1}{2} - \ln x + \frac{1}{2} (\ln x)^{2} = + \infty$
Donc: $lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} f (x) = + \infty$

* on interprète le résultat géométriquement.

Puisque on a

lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} f (x) = + \infty

Alors la courbe

(C)

admet une asymptote verticale (l’axe des ordonnées) ou encore

c

‘est la droite d’équation

x = 0

.

2)a- Vérifier que :pour tout x de

] 0, + \infty [: f (x) = x + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \ln x - 1) \ln x

On a:

x + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \ln x - 1) \ln x

= x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln x \times l n x - l n x

= x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\ln x)^{2} - \ln x

= f (x)

pour tout x de] 0,+∞[:

f (x) = x + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \ln x - 1) l n x

2)b-En déduire que:

lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty

On a:

lim_{x \to + \infty} x + \frac{1}{2} = lim_{x \to + \infty} x = + \infty

.
et

lim_{x \to + \infty} l n x = + \infty

.
donc:

lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{2} \ln x - 1) l n x = + \infty

.
D’où:

lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} (x + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \ln x - 1) l n x) = + \infty

lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty

2)c-Montrer que pour tout x de ]0,+∞[,

\frac{(\ln x)^{2}}{x} = \frac{(2 \ln \sqrt{x})^{2}}{(\sqrt{x})^{2}}

On a :

\frac{(\ln x)^{2}}{x} = \frac{{(\ln ({\sqrt{x}}^{2}))}^{2}}{(\sqrt{x})^{2}} = \frac{(2 \ln \sqrt{x})^{2}}{(\sqrt{x})^{2}} (\ln x^{r} = r \ln x; r \in Q)

= \frac{4 (\ln \sqrt{x})^{2}}{(\sqrt{x})^{2}} = 4 {(\frac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2} \frac{(\ln x)^{2}}{x} = 4 {(\frac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}

* En déduire que:

lim_{x \to + \infty} \frac{(\ln x)^{2}}{x} = 0

.
On a :

lim_{x \to + \infty} \frac{(\ln x)^{2}}{x} = lim_{x \to + \infty} 4 {(\frac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}; (t = \sqrt{x}; x \to + \infty; t \to + \infty)

\begin{aligned} = & lim_{t \to + \infty} 4 {(\frac{\ln t}{t})}^{2} = 0; (lim_{t \to + \infty} \frac{\ln t}{t} = 0) \end{aligned}

.
Donc:

lim_{x \to + \infty} \frac{(\ln x)^{2}}{x} = 0

.

2)d- Montrer que:

(C_{r})

admet au voisinage de

+ \infty

une branche parabolique de direction asymptotique la droite

(Δ)

d’équation

y = x

On a:

lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{x + \frac{1}{2} - \ln x + \frac{1}{2} (\ln x)^{2}}{x} = lim_{x \to + \infty} 1 + \frac{1}{2 x} - \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{2} \frac{(\ln x)^{2}}{x} = 1

.
(

car lim_{x \to + \infty} 1 + \frac{1}{2 x} = 1 et lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 et lim_{x \to + \infty} \frac{(\ln x)^{2}}{x} = 0

d’après la question précédente).
D’ où:

a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = 1

d’autre part:

lim_{x \to + \infty} f (x) - x = lim_{x \to + \infty} x + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \ln x - 1) \ln x - λ = + \infty

car : lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty

Donc:

b = lim_{x \to + \infty} f (x) - x = + \infty

.
Par suite:

lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty

a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = 1

b = lim_{x \to + \infty} f (x) - x = + \infty

(C_{f})

admet au voisinage de

+ \infty

une branche parabolique de direction asymptotique la droite

(Δ)

d’équation

y = x

.

3)a-
*Montrons que : pour tout x de ] 0,1]:

(x - 1) + \ln x \leq 0

on a

: 0 < x \leq 1 \Rightarrow {\begin{cases} - 1 < x - 1 \leq 0 \\ \ln x \leq 0 \end{cases}

Donc: pour tout x de

] 0, 1

] :

(x - 1) + \ln x \leq 0

*Montrons pour tout x de

[1, + \infty] : (x - 1) + \ln x \geq 0

.
On a

: x \geq 1 \Rightarrow {\begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ \ln x \geq 0 \end{cases}

\Rightarrow (x - 1) + \ln x \leq 0 (

car la somme de deux nombres positifs est un nombre Donc: pour tout x de

[1, + \infty] : (x - 1) + \ln x \geq 0

{\begin{cases} pour tout x de] 0, 1] : (x - 1) + \ln x \leq 0 \\ pour tout x de [1, + \infty] : (x - 1) + \ln x \geq 0 \end{cases}

3)b- Montrer que pour tout x de ]0,+oo[,

f^{'} (x) = \frac{x - 1 + \ln x}{x}

.
On a :

f^{'} (x) = {(x + \frac{1}{2} - \ln x + \frac{1}{2} (\ln x)^{2})}^{'}

= 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \times 2 (\ln x)^{'} \ln x

= 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \times \ln x

= \frac{x - 1 + \ln x}{x}

c) Tableau de variations de la fonction f:

4)a- Montrer que :

f^{''} (x) = \frac{2 - \ln x}{x^{2}} pour tout x de] 0, + \infty [

On a :

f^{''} (x) = {(f^{'} (x))}^{'}

= {(\frac{x - 1 + \ln x}{x})}^{'}

= \frac{(1 + \frac{1}{x}) \times x - (x - 1 + \ln x) \times 1}{x^{2}}

= \frac{x + 1 - x + 1 - \ln x}{x^{2}}

= \frac{2 - \ln x}{x^{2}}

pour tout x de ] 0,+∞[ on a:

f^{''} (x) = \frac{2 - \ln x}{x^{2}}

.

4) b-En déduire que

(C_{f})

admet un point d’inflexion dont on déterminera les coordonnées.

Pour déterminer les points d’inflexions d’une fonction on étudie le signe de la fonction

f

» dérivée seconde de

f

Le signe de

f^{''} (x) = \frac{2 - \ln x}{x^{2}}

est le signe de

(2 - \ln x)

car

x^{2} > 0

avec x∊] 0,+∞[
On a:

2 - \ln x \geq 0 \Leftrightarrow \ln x \leq 2

\Leftrightarrow x \leq e^{2}

D’où le signe de

f^{''}

est donné par le tableau suivant :

Ia fonction $f^{''}$ dérivée seconde de $f$ s’annule $e n x_{0} = e^{2}$ et change de signe au voisinage de $x_{0} = e^{2}$ .

5) a- Montrons que: pour tout de ]0,+∞[: $f (x) - x = \frac{1}{2} (\ln x - 1)^{2}$
On a: $\frac{1}{2} (\ln x - 1)^{2}$
$= \frac{1}{2} ((\ln x)^{2} - 2 \ln x + 1)$
$= \frac{1}{2} (\ln x)^{2} - \ln x + \frac{1}{2}$ \).
$= \frac{1}{2} (\ln x)^{2} - \ln x + \frac{1}{2} + x - x = f (x) - x$ .
Donc: pour tout x de ] 0,+∞[: $f (x) - x = \frac{1}{2} (\ln x - 1)^{2}$

* en déduire la position relative de (

C_{f})

) et (∆).
Pour cela on étudier le signe de :

f (x) - x

ou encore

\frac{1}{2} (\ln x - 1)^{2}

qui a un signe positif sur] 0,+∞[ mais s’annule si

l n x - 1 = 0 \Leftrightarrow \ln x = 1 \Leftrightarrow e = 1

*La courbe (C) de f est située au dessus de la droite (∆) sur chacune des intervalles ]0,e[ et ]e,+∞[
*La courbe (C) de f coupe la droite (∆) ) au point A(e,f (e))=A(e,e).

5) b- Construire

(Δ)

(C_{1})

dans le même repère

(o, \vec{i}, \vec{j})

6)a- Montrer que : $H : x \mapsto x l n x - x$ est une primitive de la fonction $h : x \mapsto l n x$ sur ] 0,+∞[.

Pour cela on montre que :

H^{'} (x) = h (x)

On a :

H^{'} (x) = (x \ln x - x) ‘

= (x)^{'} \ln x + (x) (\ln x)^{'} - (x)^{'}

= 1 \times \ln x + x̸ \times \frac{1}{x} - 1

= \ln x + 1 - 1

= \ln x = h (x)

D’où :

H^{'} (x) = h (x)

la fonction

H : x \mapsto x \ln x - x est une primitive de la fonction h : x \mapsto \ln x sur] 0, + \infty [

6) b-A l’aide d’une intégration par parties, montrer que $\int_{1}^{e} (\ln x)^{2} d x = e - 2$

On écrit :

\int_{1}^{e} (\ln x)^{2} d x = \int_{1}^{e} (\ln x) \times (\ln x) d x

On utilise la disposition suivante:

\begin{array}{ll} u (x) = \ln x & u^{'} (x) = \frac{1}{x} \\ (1) ↓ (2) & - ↓ (3) \\ v^{'} (x) = \ln x & v (x) = x \ln x - x \end{array}

Par suite on obtient:

\int_{1}^{e} (\ln x)^{2} d x = [\ln x \times (x \ln x - x)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \times (x \ln x - x) d x

= (\ln ex (e \ln e - e)) - (\ln 1 \times (1 \ln 1 - 1)) - \int_{1}^{e} (\ln x - 1) d x

= (1 (e \times 1 - e) - 0) - \int_{1}^{e} \ln x d x + \int_{1}^{e} 1 d x

= 0 - [x \ln x - x]_{1}^{e} + [x]_{1}^{e}

;(H'(x)=h(x))

= - ((e \times 1 - e) - (1 \times 0 - 1)) + (e - 1)

= 0 - 1 + e - 1 = e - 2

\int_{1}^{e} (\ln x)^{2} d x = e - 2

6) c- Calculer en cm² l’aire du domaine plan limité par (

C_{f}

) et (Δ) et les droites d’équations x =1 et x=e.

La surface demandée à calculer en cm² est :

(\int_{1}^{e} | f (x) - x | d x) \times ‖ \vec{i} ‖ \times ‖ j ‖ = (\int_{1}^{e} (f (x) - x) d x) \times ‖ i ‖ \times ‖ j ‖ c m ²

(car (C) est au dessus de (Δ) ) sur [1, e ] )

= (\int_{1}^{e} (x̸ + \frac{1}{2} - \ln x + \frac{1}{2} (\ln x)^{2} - x) d x) \times 1 \times 1 c m ²

= \int_{1}^{e} \frac{1}{2} d x - \int_{1}^{e} \ln x d x + \frac{1}{2} \underset{e - 2}{\underset{⏟}{\int_{1}^{e} (\ln x)^{2} d x}} c m ²

= \frac{1}{2} [x]_{1}^{e} - [x \ln x - x]_{1}^{e} + \frac{1}{2} (e - 2) c m ²

= \frac{1}{2} (e - 1) - ((e \times 1 - e) - (1 \times 0 - 1)) + \frac{1}{2} (e - 2) c m ²

= \frac{e}{2} - \frac{1}{2} - 1 + \frac{e}{2} - 1 = e - \frac{5}{2} c m ²

la surface demandée est

\frac{2 e - 5}{2} c m ²

II)1)a-Soit

(u_{n})

la suite numérique définie par

u_{0} = 1

u_{n + 1} = f (u_{n})

pour tout

n

de IN

Montrer par récurrence que : $1 \leq u_{n} \leq e$ pour tout n de $N$

On note la relation :

1 \leq u_{n} \leq e

par (1)
On vérifie que la relation (1) est vraie pour n = 0

on a:

1 \leq u_{0} = 1 \leq e

d’où la relation (1) est vraie pour n=0.

On suppose que la relation (1) est vraie pour n

ou encore

1 \leq u_{n} \leq e

est vraie (hypothèse de récurrence )

On montre que : la relation (1) est vraie pour n+1
ou encore à démontrer que

1 \leq u_{n + 1} \leq e

d’après hypothèse de récurrence

on a :

1 \leq u_{n} \leq e

ou encore

u_{n} \in [1, e]

Donc:

1 \leq u_{n} \leq e \Rightarrow f (1) \leq f (u_{n}) \leq f (e)

(car la fonction est croissante sur [1, e] et

u_{n} \in [1, e]

\Rightarrow \frac{3}{2} \leq u_{n + 1} \leq e

( f(e)=e puisque (C) coupe(Δ)\au point A (e ,f (e))= A(e,e ))

\Rightarrow 1 \leq \frac{3}{2} \leq u_{n + 1} \leq e

f (1) = \frac{3}{2}

voir tableau de variations de f.

D’où : la relation (1) est vraie pour n+1. Conclusion :

1 \leq u_{n} \leq e

pour tout n de IN.

II) 1) b – En déduire que la suite

(u_{n})

est convergente

On a :
*la suite

(u_{n})

est croissante

*la suite

(u_{n})

est majorée ( puisque

1 \leq u_{n} \leq e

d’après une propriété la suite

(u_{n})

est convergente tel que sa limite sera notée par

ℓ

avec

ℓ \in I R)

II) 2) Calculer la limite de la suite

(u_{n})

Ia suite

(u_{n})

est de la forme

u_{n + 1} = f (u_{n})

Ia fonction f est continue

sur I = [1, e]

f (I) \subset I

(car f (I) = [f (1), f (e)] = [\frac{3}{2}, e] \subset I = [1, e] (car f est continue et croissante sur I = [1, e]

f (e) = e et f (1) = \frac{3}{2})

On a:

u_{0} = 1 \in [1, e]

la suite

(u_{n})

est convergente vers

ℓ

avec

ℓ \in I R

donc

ℓ

est solution de l’équation :

x \in I = [1, e]; f (x) = x

(d’après une propriété )

pour résoudre l’équation

f (x) = x

sur l’intervalle

[1, e]

on étudier l’intersection de la courbe (C) et la droite

(Δ) sur [1, e]

d’après ce qui a précédé (C) coupe (Δ) ) au point

A (e, f (e)) = A (e, e)

d’où la solution de l’équation précédente est :

x = e \in [1, e]

Donc:

lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ = e