Examens Nationaux 2018 Math Pc-Svt Session Rattrapage
* Géométrie dans l’espace (3 points )
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,\(\overrightarrow{i}\),\(\overrightarrow{j}\),\(\overrightarrow{k}\)).
Soit (S) la sphère de centre Ω(2 , 1 , 2) et de rayon 3 et (P) le plan passant par le point A(-1,0,3) et dont \(\overrightarrow{u}\) (4 , 0 , -3)est un vecteur normal.
1) Montrer que l’équation cartésienne de la sphère
(S) est : x²+y²+z²-4x-2y-4z=0. (0.5)
2) Vérifier que 4x-3z+13=0 est une équation cartésienne du plan (P). (0.5)
3)
a) Vérifier que \(\left\{\begin{matrix} x=2+4t\\ y=1 \\ z=2-3t \end{matrix}\right.\) (t∊\(\mathbb{R}\)) est une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point Ω et orthogonale à (P). (0.5)
b) Déterminer les coordonnées du point H intersection de la droite (Δ) et le plan (P) . (0.5)
c) Calculer d(Ω,(P)). (0.25)
d) montrer que (P) est tangent à la sphère (S) en un point à déterminer. (0.75)
* Nombres complexes (3 points )
1) Résoudre dans ₵, l’équation :
Z²\(-2\sqrt{2}\)Z+4=0 (0.75)
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O,\(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\)).
On considère le point A d’affixe a=\(\sqrt{2}\)(1-i) et R la rotation de centre O et d’angle \(\frac{π}{3}\).
a) Ecrire a sous forme trigonométrique. (0.25)
b) Soit B l’image du point A par la rotation R et b l’affixe de B.
montrer que : b=2(cos(\(\frac{π}{12}\))+isin((\(\frac{π}{12}\))). (0.5)
3)
a) On considère le point C d’affixe c=(1+i).
a) On considère le point C d’affixe c=(1+i).
Montrer que : b²-c²=\(2\sqrt{3}\) (0.5)
b) Soit t la translation de vecteur \(\overrightarrow{OC}\).et D l’image de B par la translation t.
b) Soit t la translation de vecteur \(\overrightarrow{OC}\).et D l’image de B par la translation t.
Montrer que : OD=|b+c|. (0.5)
c) En déduire que: ODxBC=\(2\sqrt{3}\) (0.5)
c) En déduire que: ODxBC=\(2\sqrt{3}\) (0.5)
* Dénombrement et probabilités (3 points )
Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher: trois boules rouges portant chacune le nombre 1 et trois boules rouges portant chacune le nombre 2 et six boules vertes portant chacune le nombre 2.
On considère l’expérience suivante :
on tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne.
Soient les événements:
A : « les deux boules tirées portent le mêmenombre ».
B : « les deux boules tirées sont de même couleur».
C : « les deux boules tirées portent des deuxnombres dont la somme est 3 ».
1) Montrer que : p(A)=\(\frac{13}{22}\), p(B)=\(\frac{6}{11}\) et calculer p(C). (1.5)
2)
a) Montrer que p(A∩B)=\(\frac{3}{11}\). (0.5)
a) Montrer que p(A∩B)=\(\frac{3}{11}\). (0.5)
b) Les événements A et B sont-ils indépendants? Justifier la réponse. (0.5)
3) Sachant que l’événement B est réalisé, calculer la probabilité pour que les deux boules tirées portent le même nombre. (0.5)
* Calcul intégral (2 points )
1) Montrer que x H: x⟶ \(xe^{x}\) est une primitive de la fonction h: x⟶ \((x+1)e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\). (0.5)
2) En déduire que \(\int_{0}^{1} (x+1)e^{x}dx\)=e. (0.5)
3) En utilisant une intégration par parties, calculer \(\int_{0}^{1} (x²+2x-1)e^{x}dx\). (1)
* Etudes des Fonctions (9 points )
Partie I :
On considère la fonction g définie sur ]0,+∞[ par :
g(x)=\(x^{3}\)-1-2ln²x+2lnx.
Le tableau ci-contre est le tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle ]0,+∞[.
g(x)=\(x^{3}\)-1-2ln²x+2lnx.
Le tableau ci-contre est le tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle ]0,+∞[.
1) Calculer g(1). (0.25)
2) En partant du tableau de variations de la fonction g
ci-contre , Déterminer le signe de g(x) sur ]0,1[ et sur ]1,+∞[. (0.5)
Partie II :
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par:
f(x)=x-\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{2x²}\)+\(\left ( \frac{ln(x)}{x} \right )^2\)
f(x)=x-\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{2x²}\)+\(\left ( \frac{ln(x)}{x} \right )^2\)
soit (C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,\(\overrightarrow{i}\),\(\overrightarrow{j}\)). (unité 1 cm).
1) a) Vérifier que: \(\lim_{x￫+∞} f(x) = +∞\). (0.5)
b) Montrer que la droite (D) d’équation y=x-\(\frac{1}{2}\) est une asymptote à (C) au voisinage de +∞. (0.5)
c) Déterminer la position relative de la droite (D) et la courbe (C). (0.25)
c) Déterminer la position relative de la droite (D) et la courbe (C). (0.25)
2) Montrer que: \(\lim_{\substack{x\to0\\x>0}} f(x) = +∞\) et interpréter le résultat géométriquement. (0.75)
3)
a) Montrer que f ‘(x)= \(\frac{g(x)}{x^3}\) pour tout x appartenant à l’intervalle ]0,+∞[. (1)
a) Montrer que f ‘(x)= \(\frac{g(x)}{x^3}\) pour tout x appartenant à l’intervalle ]0,+∞[. (1)
b) Montrer que la fonction f est est décroissante sur ]0,1] et croissante sur [1,+∞[. (0.5)
c) Dresser son tableau de variations sur l’intervalle ]0,+∞[. (0.5)
4) Tracer sur le même repère (O,\(\overrightarrow{i}\),\(\overrightarrow{j}\)), la droite (D) et la courbe (C). (unité 1 cm). (1)
Partie III :
On considère la fonction h définie sur par : h(x)=f(x)-x.
1)
a) Vérifier que h(1)=0. (0.25)
b) sur la figure ci-contre \(C_{h}\) est la courbe de la fonction h .
Déterminer le signe de h(x) sur ]0,1[ et sur ]1,+∞[.
En déduire que: f(x)≤x pour tout x de [1,+∞[. (0.75)
2) On considère la suite \((U_{n})\) définie par :
U₀=e et \(U_{n+1} =\) \(f(U_{n} )\) (∀n∊\(\mathbb{N}\)).
a) Montrer par récurrence que: 1≤\(U_{n}\)≤e pour tout n∊\(\mathbb{N}\). (0.75)
U₀=e et \(U_{n+1} =\) \(f(U_{n} )\) (∀n∊\(\mathbb{N}\)).
a) Montrer par récurrence que: 1≤\(U_{n}\)≤e pour tout n∊\(\mathbb{N}\). (0.75)
b) Montrer que la suite \((U_{n})\) est décroissante. (0.75)
( On pourra utiliser le résultat de la question III) 1) b- )
c) En déduire que la suite \((U_{n})\) est convergente et calculer sa limite. (0.75)
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