Dérivabilité:
⇲ Dérivabilité sur un intervalle.
Activité 1
Soit f la fonction définie IR sur par :
1) Montrer que f est continue sur .
2) Montrer que f est dérivable sur chacun des intervalles ]-∞, 2[ et ]2, +∞[
et calculer f ’(x) pour x < 2 et pour x > 2.
3) a) Etudier la dérivabilité de f en x₀=2.
b) La fonction f est-elle dérivable sur IR?
Dérivabilité sur un intervalle
* Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I.
La fonction f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x₀ de I.
Dans ce cas f possède une fonction dérivée notée f ’ définie sur I,
qui à tout x de I associe f ’(x).
* Soit a un réel.
– La fonction f est dérivable sur [a,+∞[ si elle est dérivable sur ]a,+∞[
* Soit a un réel.
– La fonction f est dérivable sur [a,+∞[ si elle est dérivable sur ]a,+∞[
et dérivable à droite en a.
– La fonction f est dérivable sur ]-∞, a]
– La fonction f est dérivable sur ]-∞, a]
si elle est dérivable sur ]-∞, a[
et dérivable à gauche en a.
* Soient a et b deux réels tels que a < b.
* Soient a et b deux réels tels que a < b.
La fonction f est dérivable sur [a, b]
si elle est dérivable sur ]a, b[, dérivable à droite.
Activité 2
Recopier et compléter le tableau suivant
Dérivées des fonctions usuelles
Fonction f f ’(x)
activité 3
On considère les fonctions f et g définies par f(x)=4x²
1) Déterminer l’ensemble de dérivabilité de chacune de ces fonctions.
2) Calculer les fonctions dérivées de f+g,fg,f/g et g³
Opérations sur les fonctions dérivées
Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I de IR.
(f+g)’=f’+g’
(af)’=af’
(fⁿ)’=nf’fⁿ⁻¹
(1/f)’=-f’/f²
(fg)’=f’g+fg’
(f/g)’=(f’g-fg’)/g²