Dérivabilité: Dérivabilité à gauche et Dérivabilité à droite

Dérivabilité:
 ⇲  Dérivabilité à gauche – Dérivabilité à droite

Activité 1


Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. On suppose que f est dérivable
en un réel x₀ de.on pose:

a) Vérifier que pour x≠x₀, on a f(x) = f(x₀) + (x – x₀).k(x).
b) Quelle est la limite de k(x) lorsque x tend vers x₀ ?
c) Trouver alors:
 
et conclure.

Théorème

Si une fonction f est dérivable en x₀ alors elle est continue en x₀.

Activité 2
Soit la fonction f définie sur IR par :

1) Montrer que f est continue en x₀=0.
2) a) Calculer le nombre dérivé à gauche de f en x₀=0. 

Interpréter graphiquement le résultat.
b) Etudier la dérivabilité de f à droite en x₀=0.

Dérivabilité à gauche – Dérivabilité à droite :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR 

et x₀ un réel de I.
* On dit que f est dérivable à gauche en x₀, s’il existe un nombre réel ℓ₁ tel que:

Le réel ℓ₁ , est alors appelé le nombre dérivé à gauche de f en x₀ et il est noté:
f’g(x₀).g
* On dit que f est dérivable à droite en x₀, s’il existe un nombre réel ℓ₂ tel que:

Le réel , est alors appelé le nombre dérivé à droite de f en x₀ et il est noté

f’d(x₀)

Remarques :
* On peut avoir une fonction continue en x₀ mais non dérivable en x₀.
* Si f n’est pas continue en x₀ alors elle n’est pas dérivable en x₀.

Activité 3
Soit la fonction:

On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal IR du plan.
1) a) Etudier la dérivabilité de f en x₀=1.
b) En déduire que (C) admet une demi-tangente à gauche et une demi-tangente
à droite au point A(1,0).
c) Tracer les deux demi-tangentes à ( C ) en A.
2) a) Montrer que f est une fonction paire.
b) construire la courbe (C).