Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 57
a,b et c des réels non nuls
Tel que: abc=1
Calculer:\(\frac{a+1}{ab+a+1}+\frac{b+1}{bc+b+1}+\frac{c+1}{ca+c+1}\)
Solution:
On a
abc des réels non nuls
avec abc=1
d’ où:
\(ab=\frac{1}{c}\)
\(ac=\frac{1}{b}\)
d’autre part:
* \(\frac{a+1}{ab+a+1}\)
\(=\frac{a+1}{\frac{1}{c}+a+1}\)
\(=\frac{a+1}{\frac{1+ac+c}{c}}\)
\(=\frac{ac+c}{1+ac+c}\)
* \(\frac{b+1}{bc+b+1}\)
\(=\frac{b(1+\frac{1}{b})}{b(c+1+\frac{1}{b})}\)\(=\frac{1+ac}{c+1+ac}\)
Donc
A=\(\frac{a+1}{ab+a+1}+\frac{b+1}{bc+b+1}+\frac{c+1}{ca+c+1}\)
A=\(\frac{ac+c}{1+ac+c}+\frac{1+ac}{c+1+ac}+\frac{c+1}{ca+c+1}\)
A=\(\frac{ac+c+1+ac+c+1}{1+ac+c}\)
A=\(\frac{2(ac+c+1)}{1+ac+c}=2\)
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit,
Ce qu’il faut c’est 4 math .net et beaucoup de pratiques. 4 math .net Le première clé
pour être bon en maths