Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 57

Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 57

a,b et c des réels non nuls
Tel que: abc=1
Calculer:$\frac{a+1}{ab+a+1}+\frac{b+1}{bc+b+1}+\frac{c+1}{ca+c+1}$

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Solution:
On a 
abc des réels non nuls 
avec abc=1
d’ où:
$ab=\frac{1}{c}$
$ac=\frac{1}{b}$
d’autre part:
* $\frac{a+1}{ab+a+1}$
$=\frac{a+1}{\frac{1}{c}+a+1}$
$=\frac{a+1}{\frac{1+ac+c}{c}}$
$=\frac{ac+c}{1+ac+c}$
* $\frac{b+1}{bc+b+1}$
$=\frac{b(1+\frac{1}{b})}{b(c+1+\frac{1}{b})}$$=\frac{1+ac}{c+1+ac}$
Donc
A=$\frac{a+1}{ab+a+1}+\frac{b+1}{bc+b+1}+\frac{c+1}{ca+c+1}$
A=$\frac{ac+c}{1+ac+c}+\frac{1+ac}{c+1+ac}+\frac{c+1}{ca+c+1}$
A=$\frac{ac+c+1+ac+c+1}{1+ac+c}$
A=$\frac{2(ac+c+1)}{1+ac+c}=2$

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Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit,
Ce qu’il faut c’est 4 math .net et beaucoup de pratiques. 4 math .net Le première clé
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