Sujet 14 : Examen Mathématique Terminale S ( Bac 2 )

4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 14 Avec Solution
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : Mars 2008
EXERCICE 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
unité graphique : 4 cm.
On considère le point A d’affixe zA = 2+i et le cercle (Γ) de centre A
1. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice.
2. a. Déterminer les affixes des points d’intersection de (Γ)
b. On désigne par B et C les points d’affixes respectives zB =1 et zC =3.
Déterminer l’affixe zD du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle (Γ).
Interpréter géométriquement un argument
en déduire que le point M appartient au cercle (Γ).
4. On note (Γ′) le cercle de diamètre [AB].
La droite (BM) recoupe le cercle (Γ′) en un point N.
a. Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.
b. Déterminer l’affixe du point N.
5. On désigne par M′ l’image du point M par la rotation de centre B et d’angle -π/2

 Voir Solution Exercice 1

EXERCICE 2


Partie A
On considère deux points A et D de l’espace et on désigne par I le milieu du segment [AD].
1. Démontrer que, pour tout point M de l’espace,
2. En déduire l’ensemble (E) des points M de l’espace,


Partie B :
Dans l’espace rapporté au repère orthonormal
les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives :
A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 6 ; 0), C(0 ; 0 ; 4)et D(−5 ; 0 ; 1).
1. a. Vérifier que le vecteur
b. Déterminer une équation du plan (ABC).
2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆, orthogonale au plan (ABC) passant par D.
b. En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
c. Calculer la distance du point D au plan (ABC).
d. Démontrer que le point H appartient l’ensemble (E) défini dans la partie A.

Voir Solution Exercice 2
EXERCICE 3

L’espace est rapporté au repère orthonormal
On nomme (S) la surface d’équation x2+ y2−z2 = 1.
1. Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan (xOy).
2. On nomme A et B les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; −3) et
(−1 ; 1 ; 1).
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) pas-
sant par les points A et B.
b. Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).
3. Déterminer la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle
au plan (xOy).
4. a. On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan
d’équation z = 68. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.
b. M étant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son ordonnée.
On se propose de montrer qu’il existe un seul point M de (C) tel que a et b soient des entiers naturels vérifiant a < b et ppcm(a ; b) = 440,
c’est-à-dire tel que (a ; b) soit solution du système:
Montrer que si (a ; b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5.
Conclure:
Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d’initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.

EXERCICE 4

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par
On nomme (C ) la courbe représentative de f et Γ la courbe d’équation y = ln x dans un repère orthogonal
1. Étudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en +∞.
Interpréter graphiquement cette limite.
b. Préciser les positions relatives de (C ) et de Γ.
3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C ) passant par le
point O.
a. Soit a un réel appartenant à l’intervalle ]1 ; +∞[.
Démontrer que la tangente Ta à (C ) au point d’abscisse a passe par
l’origine du repère si et seulement si f (a)− a f ′(a) = 0.
Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[par: *
g(x) = f (x)− x f ′(x).
b. Montrer que sur ]1 ; +∞[, les équations:
g(x) = 0 et (lnx)3−(lnx)2 −lnx −1 = 0 ont les mêmes solutions.
c. Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur R par:
u(t) = t3 − t2 − t −1.
Montrer que la fonction u s’annule une fois et une seule sur R.
d. En déduire l’existence d’une tangente unique à la courbe (C ) passant par le point O. La courbe (C ) et la courbe Γ sont données en annexe.
Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.
4. On considère un réel m et l’équation f (x) =mx d’inconnue x.
Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l’intervalle ]1; 10].

EXERCICE 5

On considère les suites (xn) et (yn) définies pour tout entier naturel n non nul par :
1. a. Montrer que la suite (xn) est à termes positifs.
b. Étudier les variations de la suite (xn).
c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (xn)?
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul
b. En déduire la limite de la suite (xn).
3. a. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout en-
tier naturel n non nul, xn+1 =−(n +1)yn +sin(1).
4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul, yn+1 = (n+1)xn−cos(1).
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