4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 15 Avec SolutionMathématique Terminale S ( Bac 2 ) : Novembre 2003
EXERCICE 1
Le plan est muni d’un repère orthonormal
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = x2e−x.
On note f ′ la fonction dérivée de f .
1. a. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et +∞.
b. Calculer f ′(x) et déterminer le tableau de variations de f .
c. En déduire le signe de f sur R.
2. Pour tout nombre réel a, on considère l’intégrale :
a. Donner selon les valeurs de a le signe de I(a).
b. À l’aide d’une double intégration par parties montrer que pour tout nombre réel a :
c. En déduire pour tout nombre réel a :
3. Soient g et h les fonctions définies sur R par
On note C la courbe représentative de g et P celle de h.
a. Montrer que les courbes C et P ont la même tangente au point d’abscisse 0.
b. Déduire des questions précédentes la position relative des courbes C et P .
Voir Solution Exercice 1
Voir Solution Exercice 1
EXERCICE 2
Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et d’un plongeoir.
On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est 0,3. Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0,8.
Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d’être choisis.
Pour tout entier naturel n non nul, on considère l’évènement :
– Tn : « le manchot utilise le toboggan lors de son n-ième passage. »
– Pn : « le manchot utilise le plongeoir lors de son n-ième passage. »
On considère alors la suite (un) définie pour tout entier naturel n ⩾ 1 par :
un = p(Tn)
où p(Tn) est la probabilité de l’évènement Tn.
1. a. Donner les valeurs des probabilités p(T1), p(P1) et des probabilités conditionnelles pT1(T2), pP1(T2).
c. Recopier et compléter l’arbre suivant :
d. Démontrer que pour tout entier n ⩾ 1, un+1 = 0,1un +0,2
e. À l’aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite (un).
2. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n ⩾ 1 par :
Préciser son premier terme.
b. Exprimer vn en fonction de n.
En Déduire l’expression de un en fonction de n.
c. Calculer la limite de la suite (un).
Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1. e.?
EXERCICE 3
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
Soit n un entier naturel non nul.
1. On considère l’équation notée (E) :
3x +7y = 102n où x et y sont des entiers relatifs.
a. Déterminer un couple (u ; v) d’entiers relatifs tels que 3u+7v =1.
En déduire une solution particulière (x0 ; y0) de l’équation (E).
b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de (E).
2. On considère l’équation notée (G)
3x2 +7y2 =102n où x et y sont des entiers relatifs.
a. Montrer que 100 ≡2 (modulo 7).
Démontrer que si (x ; y) est solution de (G) alors 3x2 ≡ 2n (modulo 7).
b.Reproduire et compléter le tableau suivant :
c. Démontrer que 2n est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.
En déduire que l’équation (G) n’admet pas de solution.
EXERCICE 4
L’espace est rapporté au repère orthonormal
On considère le cube ABCDEFGH représenté sur l’ANNEXE, à rendre avec la copie. On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF].
1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.
En déduire qu’une équation du plan (IJK) est : 4x +2y +2z −5 =0.
3. a. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (CD).
b. En déduire que le point d’intersection R du plan (IJK) et de la droite (C
c. Placer le point R sur la figure.
4. Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK).
On peut répondre à cette question sans avoir traité les précédentes.
b. Soit S la sphère de centre G passant par F.
Justifier que la sphère S et le plan (IJK) sont sécants.
EXERCICE 5
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct
d’unité graphique 2 cm.
On considère les points A et B d’affixes respectives
1. a. Écrire zA et zB sous forme exponentielle.
b. Placer les points A et B sur une figure que l’on complètera au cours de l’exercice.
c. Déterminer la nature du triangle OAB.
2. On note r la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point M d’affixe z, on note M′ l’image de M par r et z′ l’affixe du point M′.
Interpréter géométriquement ce résultat.
b. En déduire l’écriture complexe de la rotation r.
3. Soient Γ le cercle de centre A passant par O
et Γ′ le cercle de centre B passant par O.
Soit C le deuxième point d’intersection de Γ et Γ′ (autre que O).
On note zC son affixe.
a. Justifier que le cercle Γ′ est l’image du cercle Γ par la rotation r.
b. Calculer l’affixe zI du milieu I de [AB].
c. Déterminer la nature du quadrilatère OACB.
d. En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l’affixe de C est :
a. Justifier que le point D appartient au cercle Γ. Placer D sur la figure.
b. Placer D′ image de D par la rotation r définie à la question 2.
On note zD′ l’affixe de D′
Examen Mathématique Terminale S ( Bac 2 )
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