Examen 23 Avec SolutionMathématique Terminale S ( Bac 2 SM) : Avril 2017
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.
La chocolaterie « Choc’o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.
Partie A
À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.
La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :
• la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98.
• la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95. À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note : A l’ évènement : « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A » ; C l’évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».
On note x la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîneA.
1. Montrer que P(C) = 0,03x +0,95.
2. À l’issue de la production, on constate que 96 % des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable. Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.
Partie B
Une machine électronique mesure la teneur en cacao d’une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans.
Déterminer le paramètre λ de la loi exponentielle.
2. Calculer P(Z >2).
3. Sachant que la machine de l’atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?
On note X la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcen- tage, d’une tablette de 100 g de chocolat commercialisable.
On admet que X suit la loi normale d’espérance μ =85 et d’écart type σ = 2.
1. Calculer P(83 < X < 87).
2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel a tel que :
P(85−a < X <85+a) = 0,9.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
3. La chocolaterie vend un lot de 10 000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l’enseigne que, dans ce lot, 90% des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l’intervalle [81,7; 88,3].
où c est un réel strictement supérieur à 9.
a. Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.
b. Justifier que les solutions de (E) sont:
2. On note A et B les points d’affixes respectives zA et zB.
Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.
On admet que C est la courbe représentative de la fonction f
définie sur l’intervalle [−2,5 ; 2,5] par :
Partie A : Étude de la fonction f
2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [−2,5 ; 2,5].
En déduire le signe de f sur [−2,5 ; 2,5].
Partie B : Aire de la zone de creusement
1. La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ?
Justifier la réponse.
2. Justifier que l’aire, en mètre carré, de la zone de creusement est
3. L’algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de
notée a. On admet que :
a. Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour R
et S lors de l’exécution de l’algorithme pour n =50. Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.
b. En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.
On définit les suites (un) et (vn) par :
u0 = v0 = 1 et, pour tout entier naturel n,un+1 = 2un +3vn et vn+1 = 2un + vn.
On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.
Partie A
Flore a calculé les premiers termes des suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.
1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?
2. Soit n un entier naturel.
Conjecturer la valeur de PGCD(un ; vn). Aucune justification n’est demandée.
3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :
Partie B
2un −3vn = (−1)n+1
2. Soit n un entier naturel.
Déduire de la question précédente la valeur de PGCD(un ; vn).
Partie C
Pour tout entier naturel n, on définit :
