Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 53
a,b,c et d des nombres réels.
Montrer que:
(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)
Solution
* Calculons la déférence:
A=(a²+b²)(c²+d²)-(ac+bd)²
A=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-a²c²-2acbd-b²d²
A=a²d²+b²c²-2acbd
A=(ad-bc)² ≥ 0
Donc: (ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)
* Cette inégalité s’appelle: Inégalité de Cauchy-Schwarz
Autre Réponse:
By: Celestin Tchemwe
By: Celestin Tchemwe
Soit k un nombre réel non nul,
U(a;b) et V(c;d) deux vecteurs d’un espace vectoriel de dimension 2 ou plan vectoriel ayant le couple vectoriel (i;j) comme une base orthonormé.
Alors l’on a (kU+V)²≥0;
Soit encore k².U²+2k(U.V)+V² ≥0
ou aussi
k².||U||² + 2k(U.V) + ||V||²≥0 .
Le discriminant Δ de cette équation du second degré en k est négatif;
ce qui revient au même pour son discriminant réduit
ce qui revient au même pour son discriminant réduit
L’on a Δ=(U.V)²-||U||².||V||²≤0
Ce qui équivaut à
(U.V)²≤||U||².||V||²
et puis Le produit scalaire
U.V=ac+bd; et on a les normes suivantes
||U||=\(\sqrt{a²+b²}\) et ||V||=\(\sqrt{c²+d²}\)
L’on en déduit simplement que
(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²);
d’où le résultat.
d’où le résultat.
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