Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 54

x,y deux nombres réels.
Tel que: x²+y²=x³+y³=2
Déterminer les valeurs de x+y.

Solution

* On a:
x²+y²=2
x²+y²+2xy=2+2xy
(x+y)²=2+2xy
on pose: t=(x+y)
t²=2+2xy
xy= (t²-2)/2 ①

* d’autre part:
x³+y³=2
(x+y)(x²-xy+y²)=2
(x+y)(x²-xy+y²)=2
(x+y)(2-xy)=2
①↴
t (2-(t²-2)/2)=2
4t-t³+2t=4
6t-t³-4=0
6t-12-t³+8=0
6(t-2)-(t³-8)=0
(t-2)(6-t²-2t-4)=0
(t-2)(t²+2t-2)=0
t=2,t²+2t-2=0
t=2; t=-1+\(\sqrt{3}\),t=-1-\(\sqrt{3}\).