4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 13 Avec Solution
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : Juin 2004
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : Juin 2004
EXERCICE 1
À chacune des trois affirmations suivantes,
répondre par « VRAI » ou par « FAUX ».
EXERCICE 2
Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct
unité graphique 1 cm. Soit A le point d’affixe 3i. On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z, distinct de A, associe le point M′ d’affixe z′ définie par :
1. Recherche des points invariants par f .
a. Développer (z −7i)(z +i).
b. Montrer que f admet deux points invariants B et C
dont on précisera les affixes et qu’on placera sur un dessin.
2. On appelle Σ le cercle de diamètre [BC]. Soit M un point quelconque de Σ, distinct de B et de C, soit M′ son image par f .
a. Justifier que l’affixe z de M vérifie : z =3i+4eiθ où θ est un nombre réel.
b. Exprimer l’affixe z′ de M′ en fonction de θ et en déduire que M′ appartient aussi à Σ.
c. Démontrer que z′ =-z
et en déduire, en la justifiant,une construction géométrique de M′.
3. On considère un cercle de centre A, de rayon r > 0.
Déterminer l’image de ce cercle par f.
EXERCICE 3
On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels
qui peuvent s’écrire sous la forme 9+a2 où a est un entier naturel non nul;
par exemple 10 =9+12 ; 13 = 9+22 etc.
On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.
1. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 2n où a ∈ N, n ∈N, n ⩾ 4.
a. Montrer que si a existe, a est impair.
b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de solution.
2. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 3n où a ∈ N, n ∈N, n ⩾ 3.
a. Montrer que si n ⩾ 3, 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c. On pose n = 2p où p est un entier naturel, p ⩾ 2.
Déduire d’une factorisation de 3n−a2, que l’équation proposée n’a pas de solution.
3. Étude de l’équation d’inconnue a:
a2 +9 = 5n où a ∈ N, n ∈N, n ⩾ 2.
a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation n’a pas de solution si n est impair.
b. On pose n = 2p, en s’inspirant de 2.c démontrer qu’il existe un unique entier naturel a tel que a2 +9 soit une puissance entière de 5.
EXERCICE 4
L’espace E est rapporté au repère orthonormal
On appelle P le plan d’équation 2x −y +5 = 0 et Q le plan d’équation 3x +y −z = 0.
1. Montrer que P et Q sont sécants en une droite D dont une représentation paramétrique est :
où α est un nombre réel.
2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses?
Justifier précisément vos réponses :
• Affirmation 1 : D est parallèle au plan R d’équation : −5x +5y −z = 0.
Soit D′ la droite de l’espace de représentation paramétrique :
où β est un nombre réel.
• Affirmation 2 : D et D′ sont coplanaires.
EXERCICE 5
I : première partie etude d’une fonction f
On appelle f la fonction définie sur l’intervalle
par : f (x) = ln(1+2x).
1. Justifier que f est strictement croissante sur l’intervalle 
3. On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par: g(x) = f (x)−x.
a. Étudier les variations de g sur l’intervalle I.
b. Justifier que l’équation g(x) = 0 admet deux solutions : 0 et une autre, notée β, appartenant à l’intervalle [1; 2].
c. En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle I.
4. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; β[,
f(x) appartient aussi à ]0; β[.
II : deuxième partie étude d’une suite récurrente
On appelle (un)⩾0 la suite définie par un+1 = f (un) et u0 = 1.
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un appartient à ]0 ; β[
2. Démontrer par récurrence que la suite (un)n⩾0 est croissante.
3. Justifier que la suite (un)n⩾0 est convergente.
III : troisième partie Recherche de la limite de la suite (un)n⩾0
1. Montrer que pour tout réel x ⩾ 1,
.2. Recherche de la limite de la suite (un)n⩾0
a. Démontrer que pour tout entier naturel n,
b. En déduire que pour tout entier naturel n,
puis à l’aide d’un raisonnement par récurrence que
c. Quelle est la limite de la suite (un)n⩾0?
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