Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Arithmétique Niveaux 01 – Exercice 20
Trouver tous les entiers positifs a et b,
pour les quels a⁴+4b⁴ est un nombre premier.
* On a:
a⁴+4b⁴=a⁴+2a²x2b²+4b⁴-2a²x2b²
a⁴+4b⁴=a⁴+2a²x2b²+4b⁴-2a²x2b²
a⁴+4b⁴=(a²+2b²)²-(2ab)²
a⁴+4b⁴=(a²+2b²-2ab)(a²+2b²+2ab)
➝ a²+2b²-2ab et a²+2b²+2ab sont deux diviseur de a⁴+4b⁴.
avec a²+2b²-2ab ≤ a²+2b²+2ab
pour que a⁴+4b⁴ soit premier
( un premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même)
➝ a²+2b²-2ab=1
➝ (a-b)²+b²=1
➝ (a-b=1 et b=0) (impossible car b>0) ou (a-b=0 et b=1)
Donc : (a,b)=(1,1)
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques. 4math.net Le première clé pour être bon en maths