4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 12 Avec Solution
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : septembre 2003
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : septembre 2003
EXERCICE 1
L’espace est rapporté à un repère
orthonormé.
Soit s un nombre réel. On donne les points A(8; 0; 8), B(10; 3; 10)
ainsi que la droite D d’équations paramétriques :
1. a. Donner un système d’équations paramétriques de la droite ∆
définie par A et B.
b. Démontrer que D et ∆ sont non coplanaires.
Déterminer une équation cartésienne de P.
c. Montrer que la distance d’un point quelconque M de D à P est indépendante de M.
d. Donner un système d’équations paramétriques de la droite
définie par l’intersection de P avec le plan (xOy).
2. La sphère S est tangente à P au point C(10 ; 1 ; 6).
Le centre Ω de S se trouve à la distance d = 6 de P, du même côté que O.
Donner l’équation cartésienne de S.
EXERCICE 2
On désigne par p un nombre entier premier supérieur ou égal à 7.
Le but de l’exercice est de démontrer que l’entier naturel n = p4 −1 est divisible par 240, puis d’appliquer ce résultat.
1. Montrer que p est congru à −1 ou à 1 modulo 3.
En déduire que n est divisible par 3.
2. En remarquant que p est impair, prouver qu’il existe un entier naturel k tel
que p2 −1 =4k(k +1), puisque n est divisible par 16.
3. En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de p par 5,
démontrer que 5 divise n.
4. a. Soient a, b et c trois entiers naturels.
Démontrer que si a divise c et b divise c, avec a et b premiers entre eux,
alors ab divise c.
b. Déduire de ce qui précède que 240 divise n.
5. Existe-t-il quinze nombres premiers p1, p2,…, p15 supérieurs ou égaux à 7
tels que l’entier A = p14+p24+…+p154 soit un nombre premier ?
EXERCICE 3
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
Partie A
Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
b. Déterminer la limite de f en +∞.
2. a. Étudier la dérivabilité de f en 0.
b. Montrer que f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[
et calculer f ′(x) pour x > 0, f ′ désignant la fonction dérivée de f .
3. Étudier le sens de variations de f sur [0 ; +∞[,
puis dresser son tableau de variations.
4. Montrer que l’équation f (x) = 0 possède une solution unique α sur l’intervalle [0 ; +∞[. Déterminer une valeur approchée décimale de α à 10−2 près.
Partie B
1. Calculer une équation de la tangente D à la courbe C
au point d’abscisse x = 1.
2. On considère la fonction
définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[
a. Calculer g ′(x), puis g ′′(x) où g ′ et g ′′ désignent respectivement les fonctions dérivées première et seconde de g.
Étudier le sens de variations de g ′. En déduire le signe de g ′(x) sur ]0 ; +∞[
b. Étudier le sens de variations de g.
En déduire la position de la courbe C par rapport à la tangente D.
3. Construire la courbe C et la tangente D (unité graphique : 2 cm).
Partie C
1. n est un entier naturel non nul.
Exprimer en fonction de n le réel
(on pourra utiliser une intégration par parties).
2. En déduire en fonction de l’entier n, l’aire An exprimée en cm2 du domaine
plan délimité par la courbe C , la tangente D et les deux droites d’équation
Examen Mathématique Terminale S ( Bac 2 )
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