4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 11 Avec Solution
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : juin 2002
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : juin 2002
EXERCICE 1
Cet exercice comporte deux parties qui peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie I
1. Dans un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.), pour une question don-
née, 3 réponses sont proposées dont une seule est exacte.
Un candidat décide de répondre au hasard à cette question.
La réponse exacte rapporte n point(s) et une réponse fausse fait perdre p point(s).
Soit N la variable aléatoire qui associe, à la réponse donnée par le candidat, la note algébrique qui lui sera attribuée pour cette question.
a. Donner la loi de probabilité de N.
b. Quelle relation doit exister entre n et p pour que l’espérance mathématique de N soit nulle ?
2. À un concours un candidat doit répondre à un Q.C.M. de 4 questions comportant chacune trois propositions de réponse dont une seule est exacte.
On suppose qu’il répond à chaque question, au hasard.
Calculer la probabilité qu’il réponde correctement à 3 questions exactement
(donner cette probabilité sous forme de fraction irréductible puis sa valeur arrondie au centième).
Partie II
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Il est seulement demandé d’entourer la réponse choisie pour chacune des quatre questions.
L’absence de réponse à une question ne sera pas pénalisée.
a. On dispose de dix jetons numérotés de 1 à 10 et on en extrait simultanément trois pour former un « paquet ».
Combien de « paquets » contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi former ?
b. A et B sont deux évènements d’un espace probabilisé tels que :
Combien vaut p(A∩B)? 
c. A et B sont deux évènements d’un espace probabilisé tels que
pA(B) = 0,25 (probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé).
Combien vaut p(A) ?
d. Une variable aléatoire X a pour loi de probabilité :
Combien vaut l’écart type de X ?
EXERCICE 2
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct
On prendra 2 cm pour unité graphique.
On considère l’application F du plan dans lui même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M′ d’affixe z′ tel que :
z′ = (1+i)z +2.
1. Soit A le point d’affixe −2+2i.
Déterminer les affixes des points A′ et B vérifiant respectivement A′ = F(A) et F(B) = A.
2. Méthode de construction de l’image de M.
a. Montrer qu’il existe un point confondu avec son image.
On notera Ω ce point et ω son affixe.
b. Établir que pour tout complexe z distinct de
Soit M un point distinct de Ω.
Comparer MM′ et MΩ et déterminer une mesure de l’angle
En déduire une méthode de construction de M′ à partir de M.
3. Étude de l’image d’un ensemble de points.
a. Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble Γ, des points du plan dont l’affixe z vérifie:
Vérifier que B est un point de Γ.
b. Démontrer que, pour tout z élément de C
z′ +2 =(1+i)(z +2−2i).
Démontrer que l’image par F de tout point de Γ
appartient au cercle Γ‘ de centre A′ et de rayon 2.
Placer O, A, B, A′, Γ et Γ′ sur une même figure.
EXERCICE 3
Soit (E) l’ensemble des entiers naturels écrits, en base 10,
où a est un chiffre supérieur ou égal à 2 et b est un chiffre quelconque.
Exemples d’éléments de (E) : 2 002 ; 3 773 ; 9 119.
Les parties A et B peuvent être traitées séparément.
Partie A : Nombre d’éléments de (E) ayant 11 comme plus petit facteur premier.
1. a. Décomposer 1 001 en produit de facteurs premiers.
b. Montrer que tout élément de (E) est divisible par 11.
2. a. Quel est le nombre d’éléments de (E) ?
b. Quel est le nombre d’éléments de (E) qui ne sont ni divisibles par 2 ni par 5 ?
3. Soit n un élément de (E) s’écrivant sous la forme abba.
a. Montrer que : « n est divisible par 3 » équivaut à « a + b est divisible par 3 ».
b. Montrer que : « n est divisible par 7 » équivaut à « b est divisible par 7 ».
4. Déduire des questions précédentes le nombre d’éléments de (E) qui admettent
11 comme plus petit facteur premier.
Partie B : Étude des éléments de (E) correspondant à une année bissextile.
Soit (F) l’ensemble des éléments de (E) qui correspondent à une année bissextile.
On admet que pour tout élément n de (F), il existe des entiers naturels p et q tels que :
n =2000+4p et n = 2002+11q.
1. On considère l’équation (e) : 4p −11q =2 où p et q sont des entiers relatifs.
Vérifier que le couple (6, 2) est solution de l’équation (e).
Puis résoudre l’équation (e).
2. En déduire que tout entier n de (F) peut s’écrire sous la forme 2 024 + 44 k où
k est un entier relatif.
3. À l’aide de la calculatrice déterminer les six plus petits éléments de (F).
N. B. : Liste des nombres premiers inférieurs à 40 :
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37.
EXERCICE 4
Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction fk définie sur [0 ; +∞[ par :
fk(x) = ln(ex +kx)−x.
Soit Ck la courbe représentative de la fonction fk
dans le plan muni d’un repère orthogonal
(unités graphiques : 5 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées).
Étude préliminaire : mise en place d’une inégalité.
On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par :
g(x) =ln(1+x)−x.
1. Étudier le sens de variation de g.
2. En déduire que pour tout réel a positif ou nul ln(1+a) ≤a.
Partie A : Étude de la fonction f1 définie sur [0 ; +∞[ par f1(x) =ln(ex +x)−x.
1. Calculer duire le sens f ′1(x) de pour variation tout réel x appartenant de la fonction f1.
à l’intervalle [0 ; +∞[ et en déduire le sens de variation de la fonction f1.
2. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[,
3. Dresser le tableau de variation de f1.
Partie B : Étude et propriétés des fonctions fk.
1. Calculer fk(x) pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[
et en déduire le sens de variation de la fonction fk.
2. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[
En déduire la limite de fk , en +∞.
3. a. Dresser le tableau de variation de fk .
b. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, on a
4. Déterminer une équation de la tangente Tk à Ck au point O.
5. Soit p et m deux réels strictement positifs tels que p < m.
Étudier la position relative de Cp et Cm.
6. Tracer les courbes C1 et C2 ainsi que leurs tangentes respectives T1 et T2 en O.
Partie C : Majoration d’une intégrale.
Soit λ un réel strictement positif, on note A(λ) l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe Ck et les droites d’équation x =0 et x = λ.
1. Sans calculer A (λ), montrer que
(on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire).
2. Calculer à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale
3. On admet que A (λ) admet une limite en + ∞. Montrer que
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