4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 09 Avec Solution
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : Avril 2006
EXERCICE 1
Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont proposées ci-dessous.
Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l’affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.
1. Pour tout réel x, ex désigne l’image de x par la fonction exponentielle.
2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un
élément de I.
3. On considère deux suites (un) et (vn) définies sur N:
Voir Solution Exercice 1
EXERCICE 2
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct
On prendra pour unité graphique 5 cm.
On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n:
On note An le point du plan d’affixe zn.
1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel.
Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.
2. Pour tout entier naturel n, on pose Un = |Zn|.
Justifier que la suite (un) est une suite géométrique puis établir que,
pour tout entier naturel n:
3. À partir de quel rang n0 tous les points An
appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
4.a. Établir que, pour tout entier naturel n:
En déduire la nature du triangle OAn An+1.
b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée
A0A1A2 … An−1An.
On a ainsi : Ln = A0A1 + A1A2 +…+ An-1An.
Exprimer ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (Ln)?
EXERCICE 3
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct
On prendra 5 cm pour unité graphique.
Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M′ d’affixe z′
définie par :
1. Justifier que f est une similitude directe
dont on précisera le centre Ω (d’affixe ω), le rapport k et l’angle θ.
2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose An+1 = f (An).
a. Déterminer les affixes des points A1 A2, A3 puis placer les points A0 , A1, A2et A3.
b. Pour tout entier naturel n, on pose un = ΩAn.
Justifier que la suite (un) est une suite géométrique
puis établir que, pour tout entier naturel n,
c. À partir de quel rang n0 tous les points An
appartiennent-ils au disque de centre Ω et de rayon 0,1 ?
3. a. Quelle est la nature du triangle ΩA0A1 ?
En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangle ΩAn An+1
b. Pour tout entier naturel n,
on note Ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2 … An−1An.
On a ainsi : Ln = A0A1+ A1A2+…+ An−1An.
Exprimer Ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (Ln)?.
EXERCICE 4
L’espace est muni d’un repère orthonormal
Partie A
(cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)
Soit a,b,c et d des réels tels que (a, b, c) =(0, 0, 0).
Soit P le plan d’équation ax +by +cz +d =0.
On considère le point I de coordonnées (x1, y1, z1)
de coordonnées (a, b, c).
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à
1. Soit ∆ la droite passant par I et orthogonale au plan P .
Déterminer, en fonction de a, b, c, x1, y1 et z1 un système d’équations paramétriques de ∆.
2. On note H le point d’intersection de ∆ et P .
a. Justifier qu’il existe un réel k tel que
b. Déterminer l’expression de k en fonction de a, b, c, d, xI yI et zI
c. En déduire que:
Partie B
Le plan Q d’équation x−y +z−11 =0 est tangent à une sphère S de centre le point Ω de coordonnées (1, −1, 3).
1. Déterminer le rayon de la sphère S .
2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite∆
passant par Ω et orthogonale au plan Q
3. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphère S et du plan Q.
EXERCICE 5
Les parties A et B sont indépendantes. Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition.
Partie A En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effectif initial est égal à mille. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonction f du temps t (exprimé en années à partir de l’origine 2000). D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction f est dérivable,
strictement positive sur [0 ; +∞[, et satisfait l’équation différentielle :
1. Démontrer l’équivalence suivante : une fonction f , dérivable, strictement
positive sur [0 ; +∞[, vérifie, pour tout t de [0 ; +∞[,
si et seulement si la fonction g = Ln(f ) vérifie,pour tout t de [0 ; +∞[,
2. Donner la solution générale de l’équation différentielle :
3. En déduire qu’il existe un réel C tel que, pour tout t de [0 ; +∞[
(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle x→ ex).
4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction f définie par :
a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
b. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; +∞[.
c. Résoudre dans [0 ; +∞[ l’inéquation f (t) < 0,02.
Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?
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