Olympiade Math – Géométrie 01 – Ex 19

Olympiade de Mathématiques
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)


Olympiade Math – Géométrie 01 – Exercice 19

voir figure suivante:

Calculer x?

Voir solution

On complétons la figure:

Trouvons une relation entre x et r:
*d’une part:
Les triangles ICB & DCH sent semblables : 

CĴB=HD̂C (angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont la même mesure).
CJ/CD=CB/CH 
CJxCH=CBxCD
CB=r , CD=3xr et CH=X
XxCJ=3xr² 

*d’autre part:
Formule d’Al-Kashi, ou loi des cosinus : la formule relie la longueur des côtés en utilisant le cosinus d’un des angles du triangle.

Sur le triangle HCD :
DH²=DC²+CH²-2DCxCHcos(α)
* Calcule de cos(α):
le triangle ABC
cos(α)=-cos(π-α)=-BC/AC
BC=r & AC²=(2r)²+r²=5r²xa


* Calcule de CJ:
Triangle rectangle BIJ
CJ²=(2xr)²+r²
CJ²=5xr² 

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
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