Olympiade Math – Géométrie 01 – Ex 11

Olympiade de Mathématiques
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)


Olympiade Math – Géométrie 01 – Exercice 11


(Puissance d’un point par rapport à un cercle) 
Soit (C) un cercle, 
P un point à l’extérieur de ce cercle. 
(D)droite passant par P et coupant( C) en A et A’  
(D’) droite passant par P et coupant ( C) en B et B’

Montrer que PA × PA’ = PB × PB’.

Solution

Montrons que PAB & PB’A’ sont semblables


* on a 
BP̂A=B’P̂A’

* les quartes points ABB’A’ appartenant au même cercle (C) sont dits cocycliques.
➝ Les angles opposés inscriptible sont supplémentaires.
➝ b’+a₂=180° ①

* d’autre part
a₁+a₂=180° ② (PÂA’ angle droite).
① & ②
➡️ b’=a₁ 
l’angle P est le même dans les deux triangles (=α).
➡️  PAB & PB’A’ sont semblables
➝ PA/PB = PB’/PA’
➡️  PA × PA’ = PB × PB’

Liens utiles : 

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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