Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 10

Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math – Arithmétique Niveaux 01 – Exercice 10

Soit n ≥ 2 un entier. 
Le plus petit diviseur ≥ 2 de n est un nombre premier.
 
Exemple : on prend  n = 75, les diviseurs≥ 2 de n : 
3; 5; 15; 25; 75. 
« 3 » Le plus petit de ces nombres qui est bien premier.
Solution


* Soit n∊IN tel que n≥2
*Soit p Le plus petit diviseur ≥ 2 de n.
Montrons que p est premier.
on a 
p divise n 
➝ p≥2 
* Soit d est un diviseur ≥ 2 de p.
➝ d ≤ p ①
* on a d divise p et p divise n
➝ d  divise n
* puisque p le plus petit de ces diviseurs 
➝ d ≥ p ②
①&②
➡️ d=p
 Ceci prouve que l’unique diviseur  ≥ 2 de p est p lui-même, donc p est premier.



* Soit n∊IN tel que n≥2
*Soit p Le plus petit diviseur ≥ 2 de n.
Montrons que p est premier.
on a 
p divise n 
➝ p≥2 
* Soit d est un diviseur ≥ 2 de p.
➝ d ≤ p ①
* on a d divise p et p divise n
➝ d  divise n
* puisque p le plus petit de ces diviseurs 
➝ d ≥ p ②
①&②
➡️ d=p
 Ceci prouve que l’unique diviseur  ≥ 2 de p est p lui-même, donc p est premier.

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