Olympiade de Mathématique
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
peut s’écrire au moins deux fois la somme
de deux carrés parfait (non nuls) ?
Solution
* on va utiliser l’identité très connue:
(ac-bd)²+(ad+bc)²=(a²+b²)(c²+d²) ①
(facile à démontrer)
On suppose que:
2005² peut s’écrire sous la forme d’une somme de deux carrés parfait.
* on pose :
2005²= (ac-bd)²+(ad+bc)² ②
Or on a:
①➝ (a²+b²)(c²+d²)=2005²
* Parmi la solution on trouve :
a²+b²=2005 & c²+d²=2005
Maintenant écrivons 2005 sous la forme d’une somme de deux carrés:
2005=5×401
5 =1²+2² & 401=1²+20²
2005=(1²+2²)(1²+20²)
* utilisant la formule ①:
* cas 1:
(a,b)=(1,2) & (c,d)=(1,20)
(ac-bd)²+(ad+bc)² ↴
2005=(1-40)²+(20+2)²
2005=39²+22²
* cas 2:
(a,b)=(1,2) & (c,d)=(20,1)
(ac-bd)²+(ad+bc)² ↴
2005=(20-2)²+(1+40)²
2005=18²+41²
Conclusion:
2005²=(18²+41²)(39²+22²)
2005²=(a²+b²)(c²+d²)
a=18,b=41,c=39,d=22
a=18,b=41,c=22,d=39
②: 2005²= (ac-bd)²+(ad+bc)²
2005²= (200)²+(1995)²
2005²= (1203)²+(1604)²
Donc: le nombre 2005 peut s’écrire au moins deux fois la somme de deux carrés parfait.
Autre Réponse: By F.El Maftouhi
on pose z1=1+2i et z2=20+i
prenons z=z1*z2= 18+41i
donc 2005=|z|²=18²+41²
Remarquer que
le module d’un nombre complexe est multiplicatif + un nombre premier p est un carré d’un module d’un certain nombre complexe z=a+ib avec a et b sont deux entiers relatifs.
i.e : p=|z|²=a²+b² si, et seulement si p=1[4]
(la loi de réciprocité quadratique de Gauss).
nous avons ici 2005=5*401
comme 5=1[4] et 401=1[4]
alors il existe z1 et z2 deux nombres complexes
tels que:5=|z1|² et 401=|z2|²
il s’ensuit que 2005=|z1|²*|z2|²=|z1*z2|²
il en existe alors de deux entiers A et B
tels que: z1*z2=A+iB
Donc 2005=A²+B²
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