( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Soit x,y et z des nombres réels non négatifs.
* On a:
a²+b² ≥ (a+b)² / 2
(démonstration différence)
de même pour:
a²+b² +c² ≥ (a+b+c)² / 3
* donc:
2(x²+y² +z²) ≥ 2/3 (x+y+z)²
2(x²+y² +z²) ≥ 2/9(x+y+z) x 3(x+y+z) ➀
Montrons que:
2/9(x+y+z) ≥1
ie: x+y+z ≥ 9/2
On va utilisé l’inégalité arithmético-géométrique:
établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique:
\(\sqrt[n]{x_{1} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1}+\cdots+x_{n}}{n}\)
La moyenne géométrique de n réels strictement positifs est inférieure à leur moyenne arithmétique
ou : [ (x1+…+xn) / n ] ⁿ ≥ x1×…×xn
Exemple:
* pour n=2(a+b)² / 2² ≥ ab
* pour n=3(x+y+z)³ / 3³ ≥ xyz
➝ (x+y+z)³ / 3³ ≥ x+y+z
➝ (x+y+z)² ≥ 27(9/2)²=81/4
on a: 27>81/4➝ (x+y+z)² ≥ 9/2
➀ 2(x²+y² +z²) ≥ 2/9(x+y+z) x 3(x+y+z)
➝ 2(x²+y² +z²) ≥ 2/9×2/9x 3(x+y+z)
Donc:
2(x²+y² +z²) ≥3(x+y+z)