Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 18

Olympiade de Mathématique 
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math – Arithmétique Niveaux 01 – Exercice 18

a,b et c trois entiers strictement positifs.
Tel que: a+(b/c)=11 et b+(a/c)=14.
 
Trouver l’entier positif (a+b)/c.

Voir solution


On a:
 a+(b/c)=11 ➀

 b+(a/c)=14 ②

 ➀+②↴

 a+(b/c)+b+(a/c)=11+14

 (a+b)+(a+b)/c=25 ③

 * on pose:

 x=(a+b)/c

 (a+b)=cx

 ③ ➝ cx+x=25

 ➝ x(c+x)=25
 
 ➝ x divise 25 & (c+x) divise 25.

 ➝ [x,(c+x)]=[(5,5);(25,1);(1,25)]

 *cas1:

 x=5 et c+x=5➝ c=0.

 *cas2:

 x=5 et c+x=25➝ c=20.

 *cas3:

 x=25 et c+x=5➝ c=-20.

 * or on a: c>0

 ➨ x=(a+b)/c=5
 


On a:a+(b/c)=11 ➀b+(a/c)=14 ②
 ➀+②↴a+(b/c)+b+(a/c)=11+14➝ (a+b)+(a+b)/c=25 ③
 on pose:x=(a+b)/c➝ (a+b)=cx
 ③ ➝ cx+x=25➝ x(c+x)=25➝ x divise 25 & (c+x) divise 25.➝ [x,(c+x)]=[(5,5);(25,1);(1,25)]
 *cas1:x=5 et c+x=5➝ c=0.
 *cas2:x=5 et c+x=25➝ c=20.
 *cas3:x=25 et c+x=5➝ c=-20.
 * or on a: c>0➨ x=(a+b)/c=5
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Liens utiles :
L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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