Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Arithmétique Niveaux 01 – Exercice 11
Existe-t-il des entiers n et m.
tels que: n² + m² = 10²º¹⁹ + 3 ?
Solution
La réponse est non.
Raisonner modulo 4.
* Montrons que n² = 0 ou 1 [4]
– si n paire: n=2P
n²=4p=0[4]
– si n impaire: n=2p+1
n²=4p²+4p+1=1 [4]
* On en déduit que:
pour tous entiers n et m,
n² et m² sont congrus à 0 ou à 1 modulo 4.
* Par conséquent,
n²+m²=0 ou 1 [4]
* Or 10²º¹⁹ + 3 est congru à 3 modulo 4
(10²º¹⁹=10²x10²º¹⁷= 100x10²º¹⁷=0[4])
donc ne peut pas être égal à n²+m².
La réponse est non.
Raisonner modulo 4.
* Montrons que n² = 0 ou 1 [4]
– si n paire: n=2P
n²=4p=0[4]
– si n impaire: n=2p+1
n²=4p²+4p+1=1 [4]
* On en déduit que:
pour tous entiers n et m,
n² et m² sont congrus à 0 ou à 1 modulo 4.
* Par conséquent,
n²+m²=0 ou 1 [4]
* Or 10²º¹⁹ + 3 est congru à 3 modulo 4
(10²º¹⁹=10²x10²º¹⁷= 100x10²º¹⁷=0[4])
donc ne peut pas être égal à n²+m².
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