Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Arithmétique Niveaux 01 – Exercice 12
n est un entier① Trouver n tel que: n divise n + 7.② Trouver n tel que: n²+1 divise n .③ Montrer que n(n + 1) est pair.④ Montrer que: n(n + 1)(n+2) est divisible par 6.
Solution
① on a n divise n+7 & n divise n➝ n divise (n+7)-n = 7 ➡️ n vaut 1 ou 7.
② n² + 1 divise n ➝ n=0 ou n ≤ n²+1* cas₁ si n >0 on a n ≤ n²+1d’autre part n²+1 ≥ 2n > nce qui est absurde, ➡️ seul n = 0 est solution.
③* cas ₁ n est pair ➝ n=2kn(n + 1)=2k(2k+1)➡️ n(n + 1) est pair. * cas ₂ n est impair ➝ n=2k+1n(n + 1)=(2k+1)(2k+2)➡️ n(n + 1) est pair.
④ * on a
n, n + 1 et n + 2 sont trois entiers consécutifs
➝ un des trois est divisible par 3.
➝ n(n + 1)(n + 2) est divisible par 3.
➝ n(n + 1)(n + 2) = 3k.
* de plus n(n + 1) est pair (exercice ③)
➝ n(n + 1)(n + 2) est pair.
➝ 3k est pair.
➝ k est paire : k=2p
➝ n(n + 1)(n + 2) = 3k=6p.
➡️ n(n + 1)(n+2) est divisible par 6.
Liens utiles :
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