Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 12

Olympiade de Mathématique 
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math – Arithmétique Niveaux 01 – Exercice 12


n est un entier
① Trouver n tel que: n divise n + 7.
② Trouver n tel que: n²+1 divise n .
③ Montrer que  n(n + 1) est pair.
④ Montrer que:
 n(n + 1)(n+2) est divisible par 6.

Solution

① on a  n  divise n+7 & n divise n
➝ n divise  (n+7)-n = 7 
➡️ n vaut 1 ou 7.

② n² + 1 divise n ➝ n=0 ou n ≤ n²+1
* cas₁ si n >0 on a n ≤ n²+1
d’autre part  n²+1 ≥ 2n > n
ce qui est absurde, 
➡️ seul n = 0 est solution.

③* cas ₁ n est pair ➝ n=2k
n(n + 1)=2k(2k+1)
➡️ n(n + 1) est pair. 
* cas ₂ n est impair ➝ n=2k+1
n(n + 1)=(2k+1)(2k+2)
➡️ n(n + 1) est pair.

④ * on a
n, n + 1 et n + 2 sont trois entiers consécutifs
➝ un des trois est divisible par 3.
➝  n(n + 1)(n + 2) est divisible par 3.
➝ n(n + 1)(n + 2) = 3k.
*  de plus  n(n + 1) est pair (exercice ③) 
➝ n(n + 1)(n + 2) est pair. 
➝  3k est pair.
➝ k est paire : k=2p
➝ n(n + 1)(n + 2) = 3k=6p.
➡️ n(n + 1)(n+2) est divisible par 6.

Liens utiles : 

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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