Sujet 05 : Examen Mathématique Terminale S ( Bac 2 )

4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 05 Avec Solution
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : avril 2002

EXERCICE 1
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct
unité graphique 2 cm.
On désigne par A le point d’affixe zA = 1, et par (C ) le cercle de centre A et de rayon 1.
Partie A
Soit F le point d’affixe 2, B le point d’affixe zB = 1+eiπ/3 et E le point d’affixe (1+zB2).
1. a. Montrer que le point B appartient au cercle (C).
b. Déterminer une mesure en radians de l’angle de vecteurs
Placer le point B.
2. a. Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes (zB − zA) et (zE −zA).
b. En déduire que les points A , B et E sont alignés.
3. Placer le point E.
Partie B
Pour tout nombre complexe z tel que z =1, on considère les points M et M′ d’affixes respectives z et z′ où z′ =1+z2.
1. Pour z = 0 et z = 1, donner, à l’aide des points A, M et M′, une interprétation
géométrique d’un argument du nombre complexe
2. En déduire que A, M et M′ sont alignés


EXERCICE 2

Partie A
Une urne contient n boules blanches (n ∈ N et n ⩾ 2), 5 boules rouges et 3 boules vertes.
On tire simultanément et au hasard deux boules de l’urne .
1. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ?
2. On note p(n) la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
a. Montrer que
b. Calculer
Interpréter ce résultat.
Partie B
Pour les questions suivantes n = 4.
1. Calculer p(4).
2. Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l’urne.
Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l’urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ la somme de 30 euros. Pour chaque tirage :
— si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros,
— si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros. On appelle gain du joueur la différence, à l’issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif). On désigne par X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
a. Quelles sont les valeurs prises par X ?
b. Déterminer la loi de probabilité de X.
c. Calculer l’espérance de X. *


EXERCICE 3

1. Calculer le P.G.C.D. de 45 −1 et de 46 −1.
Soit u la suite numérique définie par : u0 = 0, u1 = 1
et pour tout entier naturel n, un+2 = 5 un+1 − 4 un.
2. Calculer les termes u2, u3 et u4 de la suite u.
3. a. Montrer que la suite u vérifie, pour tout entier naturel n, un+1 =4un + 1.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, un est un entier naturel.
c. En déduire, pour tout entier naturel n, le P.G.C.D. de un et un+1.
4. Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par vn = un + 1/3
a. Montrer que v est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v0.
b. Exprimer vn puis un  en fonction de n.
c. Déterminer, pour tout entier naturel n, le P.G.C.D. de 4n+1−1 et de 4n −1.

EXERCICE 4

La partie B peut être traitée indépendamment de la partie A.
Le plan est muni d’un repère orthonormal
unité graphique : 2 cm.
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn définie sur R par :
On désigne par Cn la courbe représentative de fn dans le repère
Partie A
Dans cette partie, on s’intéresse seulement aux fonctions f0 et f1
correspondant respectivement à n =0 et n = 1.
On considère d’abord la fonction f0 définie sur R par
1. a. Déterminer la limite de f0(x) quand x tend vers −∞.
1. b. Déterminer la limite de f0(x) quand x tend vers +∞.
1. c. En déduire les asymptotes de C0.
2. Montrer que le point K(0,1/2) est un centre de symétrie de C0.
3. Étudier les variations de f0.
4. a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C0 au point K.
4. b. Justifier que, pour étudier la position de la tangente T par rapport à la courbe C0, il suffit d’étudier sur R le signe de g(x), où  g(x) =2ex −xex −2−x.
4. c. Calculer g ′(x) et g ′′(x).
4. d. Déterminer, en les justifiant, les signes de g ′′(x), g ′(x) et g(x) suivant les valeurs de x.
4. e. En déduire la position de la tangente T par rapport à la courbe C0
5. Tracer C0 et T dans le repère
6. a. Montrer que pour tout réel x, les points M(x ; f0(x)) et M′(x ; f1(x)) sont symétriques par rapport à la droite (d) d’équation y=1/2.
6. b. Comment obtient-on C1 à partir de C0 ? Tracer C1.
Partie B
Étude de la suite U définie pour tout entier naturel n par :
1. Montrer que:
2. Montrer que U0+U1 = 1. En déduire U1.
3. Montrer que la suite U est positive.
4. On pose k(x) = fn+1 (x)− fn (x).
a. Montrer que, pour tout x réel,
b. Etudier le signe de k(x) pour x ∈ [0 ; 1].
c. En déduire que la suite U est décroissante.
5. a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :
b. Calculer u2.
6. Soit V la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 2 par :
a. Calculer la limite de Vn quand n tend vers +∞.
b. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a : 0 ⩽ Un ⩽ Vn
c. En déduire la limite de un quand n tend vers +∞.



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