4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 04 Avec Solution
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : septembre 1998
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : septembre 1998
EXERCICE 1
L’espace est muni d’un repère orthonormal direct.
Il n’est pas demandé de faire de figure. Les questions 3 et 4 sont indépendantes des questions 1 et 2.
On considère les quatre points A, B, C et I de coordonnées respectives :
1. a. Calculer le produit vectoriel
b. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les trois points A, B et C.
2. Soit (Q) le plan d’équation : x + y −3z +2 =0 et (Q′) le plan de repère
a. Pourquoi (Q) et (Q′) sont-ils sécants ?
b. Donner un point E
de la droite d’intersection (∆) des plans (Q) et (Q′).
3. Écrire une équation cartésienne de la sphère S de centre I et de rayon 2.
4. On considère les points J et K de coordonnées respectives :
Déterminer avec soin l’intersection de la sphère (S) et de la droite (JK).
EXERCICE 2
1. On considère le polynôme P défini par : P(z) = z3 −6z2 +12z −16.
a. Calculer P(4).
b. Résoudre dans C l’équation : P(z) = 0.
2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
Soient A,B, C les points d’affixes respectives :
a. Placer les points A, B, C sur une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.
b. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
3. Soit K le point d’affixe
On par appelle la translation F l’image de K par la rotation de centre O et d’angle de mesure π/3 et G l’image de K
a. Quelles sont les affixes respectives de F et de G ?
b. Montrer que les droites (OC) et (OF) sont perpendiculaires.
4. Soit H le quatrième sommet du parallélogramme COFH.
a. Montrer que le quadrilatère COFH est un carré.
b. Calculer l’affixe du point H.
c. Le triangle AGH est-il équilatéral ?
EXERCICE 3
1. Résoudre l’équation différentielle :
y′−4y′ +4y =0.
2. Déterminer la solution φ de cette équation, définie sur R et qui vérifie les conditions :
φ(0) = 0 et φ′(0) =−e.
EXERCICE 4
Partie A
1. On considère la fonction f définie sur R par :
f (x) =−xe2x+1.
a. Quel est, suivant les valeurs de x, le signe de f (x)?
b. Étudier le sens de variation de de f .
c. Déterminer les limites de f en + ∞ et en − ∞.
d. Dresser le tableau de variations de f .
e. On appelle (C ) la représentation graphique de f dans un repère orthonormé
(unité graphique : 4 cm).
Quelle est la tangente à (C ) au point O ? Écrire une équation de la tangente T à (C ) au point d’abscisse (−1).
f. On appelle (Γ) la représentation graphique dans le repère
de la fonction g définie sur R par :
g(x) = ex.
Quelle est la tangente à (Γ) au point d’abscisse (−1)?
2. On appelle h la fonction définie sur R par :
h(x) =1+exex.
a. Étudier le sens de variation de h.
En déduire le signe de h(x) suivant les valeurs de x.
b. Étudier la position de (C ) par rapport à (Γ).
c. Tracer, sur le même graphique, les courbes T, (C ) et (Γ).
3. Soit m un réel quelconque et M le point de la courbe (Γ) d’abscisse m.
a. Écrire une équation de la tangente D à (Γ) en M.
b. La tangente D coupe les axes de coordonnées en A et B.
Calculer, en fonction de m, les coordonnées du milieu J du segment [AB].
c. Prouver que J appartient à (C ).
d. Tracer (D) et J pour m =0.
Partie B
1. Soit x un réel quelconque. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale :
2. Soit x un réel négatif.
Calculer l’aire A(x), exprimée en cm2, de l’ensemble des points N du plan dont les coordonnées (u, v) vérifient :
3. Calculer A (− 1). 4. A (x) admet-elle une limite quand x tend vers moins l’infini ? Si oui laquelle ?
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