4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 06 Avec Solution
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : avril 2007
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : avril 2007
EXERCICE 1
L’espace est rapporté au repère orthonormal
On considère le plan P d’équation 2x+y −2z+4 =0
et les points A de coordonnées (3 ; 2 ; 6), B de coordonnées (1 ; 2 ; 4),
et C de coordonnées (4 ; −2 ; 5).
1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent un plan.
b. Vérifier que ce plan est le plan P .
2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
b. Écrire un système d’équations paramétriques de la droite ∆ passant par
O et perpendiculaire au plan P .
c. Soit K le projeté orthogonal de O sur P . Calculer la distance OK.
d. Calculer le volume du tétraèdre OABC.
3. On considère, dans cette question, le système de points pondérés
S = {(O, 3), (A, 1), (B, 1), (C, 1)}
a. Vérifier que ce système admet un barycentre, qu’on notera G.
b. On note I le centre de gravité du triangle ABC.
Montrer que G appartient à (OI).
c. Déterminer la distance de G au plan P .
4. Soit Γ l’ensemble des points M de l’espace vérifiant :
Déterminer Γ. Quelle est la nature de l’ensemble des points communs à P et Γ?
EXERCICE 2
1. Dans cette question, il est demandé au candidat d’exposer des connaissances
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct
Soit R la rotation du plan de centre Ω, d’affixe ω et d’angle de mesure θ. L’image par R d’un point du plan est donc définie de la manière suivante :
— R(Ω) =Ω
— pour tout point M du plan, distinct de Ω, l’image M′ de M est définie par
ΩM′=ΩM et
On rappelle que, pour des points A et B d’affixes respectives a et b, AB =|b −a| et
Question : Montrer que les affixes z et z′ d’un point quelconque M du plan et de son image M′ par la rotation R, sont liées par la relation z′−ω =eiθ(z −ω).
2. On R la considère rotation de les centre points B I et et d’angle B d’affixes de mesure respectives π/3 .
zI = 1+i et zB =2+2i. Soit
a. Donner l’écriture complexe de R.
b. Soit A l’image de I par R. Calculer l’affixe zA de A.
c. Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I.
En déduire que OAB est un triangle rectangle en A.
Donner une mesure de l’angle.
d. En déduire une mesure de l’angle
On pose A′ = T(A).
a. Calculer l’affixe zA’ de A′.
b. Quelle est la nature du quadrilatère OIAA′?
c. Montrer que 12 est un argument de zA’
EXERCICE 3
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
1. Montrer que f est dérivable sur [0 ; +∞[.
Étudier le signe de sa fonction dérivée f ′, sa limite éventuelle en +∞, et dresser le tableau de ses variations.
2. On définit la suite (Un) n≥0 par son terme général
a. Justifier que, si n ≤ x ≤ n+1, alors f (n+1) ≤ f (x) ≤ f (n).
b. Montrer, sans chercher à calculer un, que, pour tout entier naturel n,
f (n +1) ≤ Un ≤ f (n).
c. En déduire que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite.
3. Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par F(x) = [ln(x +3)]2 .
a. Justifier la dérivabilité sur [0 ; +∞[ de la fonction F et déterminer, pour
tout réel positif x, le nombre F ′(x).
b. On pose, pour tout entier naturel n :
Calculer In.
4. On pose, pour tout entier naturel n,
Sn = U0 +U1 +···+Un−1.
Calculer Sn. La suite (Sn) est-elle convergente ?
EXERCICE 4
Pour réaliser une enquête, un employé interroge des personnes prises au hasard dans une galerie commerçante.
Il se demande si trois personnes au moins accepteront de répondre.
1. Dans cette question, on suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard accepte de répondre est 0,1. L’employé interrogé 50 personnes de manière indépendante. On considère les évènements :
A : « au moins une personne accepte de répondre »
B : « moins de trois personnes acceptent de répondre »
C : « trois personnes ou plus acceptent de répondre ».
Calculer les probabilités des évènements A, B etC. On arrondira au millième.
2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. Dans cette question, on suppose que la variable aléatoire X qui, à tout groupe de n personnes interrogées indépendamment, associe le nombre de personnes ayant accepté de répondre, suit la loi de probabilité définie par :
formules dans lesquelles a = n 10
a. Montrer que la probabilité qu’au moins trois personnes répondent est
donnée par :
b. Calculer f (5). En donner l’arrondi au millième. Cette modélisation donne- t-elle un résultat voisin de celui obtenu à la question 1?
3. On conserve le modèle de la question 2. On souhaite déterminer le nombre minimum de personnes à interroger pour que la probabilité que trois d’entre elles au moins répondent soit supérieure ou égale à 0,95.
a. Étudier les variations de la fonction f définie sur R+ par:
ainsi que sa limite en +∞. Dresser son tableau de variations.
b. Montrer que l’équation f (x) = 0,95 admet une solution unique sur R+, et que cette solution est comprise entre 6,29 et 6,3.
c. En déduire le nombre minimum de personnes à interroger.
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