Sujet 03 : Examen Mathématique Terminale S ( Bac 2 )

4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 03 Avec Solution
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : septembre 1998

EXERCICE 1


Le plan (P) est muni du repère orthonormal direct
(unité graphique : 2 cm).
À tout point M du plan (P) est associé le nombre complexe z, affixe du point M.
1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes:
b. Déterminer le module et un argument de chacun des cubes dessus z13,z23,,z33
puis la partie réelle et la partie imaginaire z13,z23,,z33
2. a. Si z = x +iy = ρeiθ est un nombre complexe (avec , y et θ réels et ρ réel supérieur à zéro), déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z3 en fonction de x et y, puis le module et un argument de z3 en fonction de ρ et θ.
b. Déterminer l’ensemble (E) des points M d’affixe z caractérisé par : z3 est un nombre réel.
c. Déterminer et tracer l’ensemble (E′) des points M d’affixe z, caractérisé par :
z3 est un nombre réel et 1⩽ z3 ⩽ 8.

EXERCICE 2


Dans l’espace muni du repère orthonormal direct
nous considérons les points A de coordonnées (0; 6; 0), B de coordonnées (0; 0; 8),
C de coordonnées (4; 0; 8).
1. a. Réaliser la figure comportant les points définis dans l’exercice
(unité graphique : 1 cm).
b. Démontrer que :
• les droites (BC) et (BA) sont orthogonales ;
• les droites (CO) et (OA) sont orthogonales ;
• la droite (BC) est orthogonale au plan (OAB).
c. Déterminer le volume, en cm3, du tétraèdre OABC.
d. Démontrer que les quatre points O, A, B, C se trouvent sur une sphère dont vous déterminerez le centre et le rayon.
2. À tout réel k de l’intervalle ouvert ]0 ; 8[, est associé le point M(0; 0; k).
Le plan (π) qui contient M et est orthogonal la droite (OB) rencontre les droites (OC), (AC), (AB) respectivement en N, P, Q.
a. Déterminer la nature du quadrilatère (MNPQ).
b. La droite (PM) est-elle orthogonale à la droite (OB) ?
Pour quelle valeur de k, la droite (MP) est-elle orthogonale à la droite (AC) ?
c. Déterminer MP 2 en fonction de k. Pour quelle valeur de k, la distance PM est-elle minimale?

EXERCICE 3


L’objectif est d’étudier quelques propriétés de la fonction f définie sur l’intervalle [−1 ; +∞[ par :
f (x) = (1−x2)e−x.
Partie A Variations de f et tracé de la courbe (F)

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−1 ; +∞[ par :
f (x) = (1−x2)e−x.
Dans le plan (P) muni du repère orthonormal (unité graphique : 2 cm)
la représentation graphique de la fonction f est notée (F).
1. Déterminer la limite en +∞ de f : interpréter graphiquement ce résultat.
2. a. Déterminer, suivant les valeurs de x de l’intervalle [−1 ; +∞[, le signe de x2−2x−1 et celui de f (x).
b. Déterminer la fonction dérivée f ′ de f . En déduire le sens de variations de f puis dresser son tableau de variations; préciser les valeurs exactes du minimum et du maximum.
3. Déterminer une équation de la tangente notée (T) la courbe (F) au point A de (F) dont l’abscisse est 0.
4. a. Déterminer la valeur exacte et une valeur décimale approchée à 0,1 près de chacun des coefficients directeurs des tangentes à la courbe (F) en B(1; 0) et C(−1 ; 0).
b. Tracer les trois tangentes à la courbe (F) en A, B(1; 0) et C(−1 ; 0) et la courbe (F).


Partie B Intégrales et aires


Les surfaces S et S1(u) du plan (P), où u est un réel donné de l’intervalle [1 ; +∞[ sont définies par :
S est l’ensemble des points M(x ; y) tels que : 0⩽ x ⩽ 1 et 0⩽ y ⩽ f (x),
S1(u) est l’ensemble des points M(x ; y) tels que 1⩽ x ⩽ u et f (x)⩽ y ⩽ 0.
Les aires respectives de ces surfaces sont notées A , A1(u).
Leurs valeurs exactes seront exprimées en unités d’aire.
1. Justifier l’existence de l’intégrale:
où x est un réel positif. En procédant à deux intégrations par parties successives, déterminer cette intégrale.
2. En déduire la valeur exacte de:
En déduire la valeur exacte de l’aire A .
3. Déterminer, en fonction de u où u ⩾ 1,
l’aire A1 (u) puis la limite, lorsque u tend vers +∞, de A1(u).
Interpréter graphiquement ce résultat.
4. L’objectif est de déterminer le réel α supérieur ou égal à 1 pour lequel A1 (α) =A .
a. Démontrer que, sur l’intervalle [1 ; +∞[,
l’équation A1 (x) = A est équivalente à : x = 2ln(1+x).
b. Étudier le sens de variations de la fonction h définie sur l’intervalle [1 ; +∞[
par h(x) = x −2ln(1+x).
Démontrer que, sur l’intervalle [1 ; +∞[,
l’équation x = 2ln(1+x) admet exactement une solution
et que celle-ci, notée α, vérifie la condition 2 < α <3.
c. Déterminer, en indiquant la méthode utilisée, un encadrement d’amplitude 10−3 de α.

Déterminer f (α) sous la forme d’une fonction rationnelle de α .
puis l’encadrement de f (α), que vous pouvez déduire du précédent, d’amplitude 2×10−4.

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