4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 02 Avec Solution
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : septembre 1998
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : septembre 1998
EXERCICE 1
Un meuble est composé de 10 tiroirs T1, T2,…, T10.
Une personne place au hasard une boule dans un des tiroirs et une autre est chargée de trouver le tiroir contenant la boule à l’aide de la stratégie suivante :
la personne ouvre le tiroir T1.
Si la boule est dans le tiroir T1, la recherche est achevée, sinon la personne ouvre le tiroir T2, et ainsi de suite . . . en respectant l’ordre des numéros de tiroirs.
On remarquera qu’avec cette stratégie, le tiroir T10 n’est jamais ouvert.
Pour i entier compris entre 1 et 10 (1 ≤ i ≤ 10), on appelle Bi l’évènement « La boule se trouve dans le tiroir Ti».
On note X la variable aléatoire égale au nombre de tiroirs qui ont été ouverts afin de localiser la boule avec cette stratégie.
1. Donner l’ensemble des valeurs possibles de X.
2. a. Montrer que, pour i entier compris entre 1 et 8 (1≤ i ≤ 8), l’événement (X = i) est l’évènement Bi.
b. Justifier que l’évènement (X = 9) est la réunion des évènements B9 et B10.
c. Déterminer la loi de probabilité de X.
d. Calculer l’espérance mathématique de X.
EXERCICE 2
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à mesure, les points introduits dans le texte
(unité graphique : 2 cm.)
1. a. Résoudre l’équation:
b. On considère les nombres complexes
et on désigne par M et N les points d’affixes respectives z1 et z2.
Déterminer le module et l’argument de z1 et z2; placer M et N sur la figure.
c. Déterminer les affixes des P points et Q sur Q et la figure.
P images respectives de M et N par la translation de vecteur
Placer P et Q sur la figure.
Montrer que MNPQ est un carré.
2. Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l’image de P par la rotation de centre O et d’angle π/2.
Placer ces points sur la figure., S l’image de E par l’homothétie de centre O
Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au segment [MN].
d. Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS.
EXERCICE 3
Partie A ⋆ Étude d’une fonction auxiliaire
La fonction d est définie sur ]−1 ; +∞[ par :
1. Calculer la fonction dérivée d′. En déduire les variations de d.
2. Déterminer les limites de d en −1 et en +∞.
3. Montrer que, pour tout x >−1, on a : 0 < d(x) < e.
Partie B ⋆ Étude de la fonction f
Dans cette partie on s’intéresse à la fonction f définie sur l’intervalle ]−1 ; + ∞[ par :
On appelle (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal, d’unité graphique étant 5 cm.
On désigne par f ′ et f ′′ les dérivées première et seconde de f .
1. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x −e+1 est asymptote à la courbe (C ).
Préciser la position relative de (D) et (C ).
2. a. Pour x ∈]−1 ; + ∞[, calculer f ′(x) et f ′′(x).
Vérifier que:
En déduire le sens de variations de f ′.
b. Dresser le tableau de variations de f ′.
3. Démontrer que l’équation f ′(x) = 0 admet sur ]−1 ; +∞[ deux solutions dont l’une est 0.
Dans la suite du problème, on notera α la solution non nulle. Donner une valeur approchée de α au centième près.
4. a. Étudier les variations de f .
b. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
c. Dresser le tableau de variations de f
Partie C ⋆ Prolongement de la fonction f en −1
On considère la fonction g définie sur ]−1 ; +∞[ par :
On appelle (C ′) la courbe représentative de la fonction g dans le repère de la partie B.
1. a. Montrer que l’on peut écrire:
b. Pour x ∈]−1 ; +∞[, déterminer la limite lorsque x tend vers −1
c. En déduire que g est dérivable en – 1 et préciser son nombre dérivé g ′(− 1).
2. Construire (D) et (C ′). Préciser les tangentes à (C ′) aux points d’abscisses − 1, α, 0.
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