Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Mathématiques – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 14
Pour quelle valeur de a l’équation:
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5| = a
admet – elle une solution unique ?
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5| = a
admet – elle une solution unique ?
Soit f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|
on pose y = 6 – x
➝ |y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|
= |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|=a➝ f(x) = f(y)=a➝ f(x)=a admet une solution unique.
➝ x=y
➝ 6-x=x ➝ x=3➝ a=6
il s’agit là d’une condition nécessaire
il faut encore prouver que:
pour a = 6 ➝ f(x) = a elle n’admet qu’une seule solution.
* pour tout x réel on a :
|x-1| ≥ x-1 & |x-2|≥ x-2 & |x-4| ≥ 4-x & |x-5| ≥ 5-x
➝ |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5| ≥ 6 + |x-3|
➝ 6 ≥ 6 + |x-3| ⇾ 0 ≥ |x-3|
➝ x=3
➨ f(x) = a elle admet qu’une seule solution.
➝ x=3
➨ f(x) = a elle admet qu’une seule solution.