Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade Math – Algèbre 03 – Fonction Exercice 01
Déterminer toutes les fonctions f : R →R.
Tel que:
f(x² – y²) = (x – y)(f(x) + f(y))
(Crux Mathematicorum 2003).
Voir Solution 1
Soit f une solution.on a
f(x² – y²)=(x – y)(f(x) + f(y)) ➀* pour x = y;
➀→ f(x²-x²)=(x-x)(f(x)+f(x))
→f(0) =0* Pour y=-x (x≠0)
➀→f(x²-(-x)²)=(x+x)(f(x)+f(-x))
→ f(0)=2x(f(x)+f(-x)) (f(0)=0)
→ f(-x)=-f(x)
→ f est impaire. x∈IR** pour tous réels x; y,
on prend y=-y (x∈IR*);
➀ → f(x²-y²) = (x+y)(f(x)-f(y)) ②
➀&②
→ (x-y)(f(x)+f(y))=(x +y)(f(x)-f(y))→ xf(x)+xf(y)-yf(x)-yf(y)=xf(x)-xf(y)+yf(x)-yf(y)
→ xf(y)=yf(x) pour tous réels x,y.
* pour y=1(x∈IR*)
xf(y)=yf(x)→xf(1)=1f(x)
→ f(x)=xf(1) et f(0)=0
→ f(x) = x f(1) (x∈IR)
→ f est lin eaire (x∈IR)
Réciproquement,
il est facile de vérifier que toute fonction linéaire est bien une solution duproblème.
[(f(x)=ax / f(x² – y²)=a(x² – y²) / (x – y)(f(x) + f(y))=a(x-y)(x+y)]
Voir Solution Prof Faiz.M
Pour résoudre cette équation fonctionnelle,
commençons par vérifier que f(0)=0.
On met x=y
alors d’après l’énoncé de cette exercice on aura,
f(y²-y²)=(y-y)*2f(y)
D’où, f(0)=0
Puis on contenue par établir que f est une fonction impaire.
Pour tous réel x non nul
On ait, 0=f(0)=f((-x)²-x²)=-2x(f(-x)+f(x))
Alors f(-x)+f(x)=0
Par conséquent f est bel et bien une fonction impaire.
Par la suite soient x et y deux réels quelconques
D’une part par l’hypothèse de l’exercice on ait
f(x²-y²)=(x-y)(f(x)+f(y)) (*)
Et d’autre part f(x²-(-y)²)=(x-(-y))(f(x)+f(-y))
Autrement dit f(x²-y²)=(x+y)(f(x)+f(-y))
Et comme f est une fonction impaire.
Il en découle alors que f(x²-y²)=(x+y)(f(x)-f(y)) (**)
Et d’après (*) et (**)
on en déduit que (x-y)(f(x)+f(y))= (x+y)(f(x)-f(y))
On développe vite fait cette équation on trouve que,
xf(x)+xf(y)-yf(x)-yf(y)=xf(x)-xf(y)+yf(x)-yf(y)
équivaut à 2xf(y)=2yf(x)
équivaut à xf(y)=yf(x)
Il suffit maintenant de remplacer y par 1 pour pouvoir conclure que f(x)=f(1)*x quelque soit x appartenant à IR.
Finalement, si l’on note f(1)=a
on obtiendra alors que l’ensemble des solutions de cette équation fonctionnelle ce n’est que l’ensemble des fonctions linéaires allants de lR vers lR.
Donc S=L(lR).
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