Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 27

Olympiade de Mathématique 
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

▶️ Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 27

Déterminer tous les couples (x, y) de nombres réels tels que :
|x + y| = 3 et xy = −10.
Solution

on a
xy=-10 ①
|x + y| = 3 
⇾ x + y= 3 (a) ou x + y= -3  (b)

⇾  (x + y)² = 9  ②
(x − y)² = x² + y² − 2xy
(x − y)²= (x + y)² − 4xy (voir ① et ②)
(x − y)²= 9+40 (voir ① et ②)
⇾ (x − y)² = 49 
⇾ x − y =7 (c)  ou  x − y = -7 (d)
(a) + (c) ⇾  2x = 10 ⇾ x=5  ⇾ y=-2

(a) + (d) ⇾  2x = -4⇾ x=-2  ⇾ y=5
(b) + (c) ⇾  2x = 4⇾ x=2  ⇾ y=-5
(b) + (d) ⇾  2x = -10 ⇾ x=-5  ⇾ y=2
Les quatre couples solutions sont donc : 
(5, −2), (−2, 5), (2, −5) et (−5, 2).

Liens utiles : 

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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