Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 22
x,y et z trois nombres réels non nuls
Tel que:\(\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\)
Montrer que :
\(\frac{x^{2}-y^{2}+z^{2}}{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{z^{2}}}={y}^{4}\)
on pose: y/x=z/y=t
➝ y=tx
➝z=ty=t²x
d’ou
x²-y²+z²= x²-t²x²+t⁴x²
x²-y²+ z²= x²(1-t²+t⁴)
➝ 1/x²-1/y²-1/z² =1/x²-1/t²x²-1/t⁴x²
1/x²-1/y²-1/ z² = (t⁴-t²+1)/t⁴x²
donc
x² – y² + z²
—————— = x² / t⁴x² =(tx)⁴=y⁴
1/x²-1/y²-1/z²
➝z=ty=t²x
d’ou
x²-y²+z²= x²-t²x²+t⁴x²
x²-y²+ z²= x²(1-t²+t⁴)
➝ 1/x²-1/y²-1/z² =1/x²-1/t²x²-1/t⁴x²
1/x²-1/y²-1/ z² = (t⁴-t²+1)/t⁴x²
donc
x² – y² + z²
—————— = x² / t⁴x² =(tx)⁴=y⁴
1/x²-1/y²-1/z²
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques
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