Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 22

Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

▶️ Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 22

x,y et z trois nombres réels non nuls
Tel que:yx=zy
Montrer que :
x2−y2+z21x2−1y2−1z2=y4

 

Solution

on pose: y/x=z/y=t
➝ y=tx
➝z=ty=t²x
d’ou
x²-y²+z²= x²-t²x²+t⁴x²
x²-y²+     z²= x²(1-t²+t⁴)
➝ 1/x²-1/y²-1/z² =1/x²-1/t²x²-1/t⁴x²
1/x²-1/y²-1/      z² = (t⁴-t²+1)/t⁴x² 
donc 
    x² – y² + z²
—————— = x² / t⁴x² =(tx)⁴=y⁴  
 1/x²-1/y²-1/z²
on pose: y/x=z/y=t
➝ y=tx
➝z=ty=t²x
d’ou
x²-y²+z²= x²-t²x²+t⁴x²
x²-y²+     z²= x²(1-t²+t⁴)
➝ 1/x²-1/y²-1/z² =1/x²-1/t²x²-1/t⁴x²
1/x²-1/y²-1/      z² = (t⁴-t²+1)/t⁴x² 
donc 
    x² – y² + z²
—————— = x² / t⁴x² =(tx)⁴=y⁴  
 1/x²-1/y²-1/z²
 
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