Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 18

 
 

Olympiade de Mathématique

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

▶️ Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 18
x,y et z trois nombres réels
Tel que: x+y+z≠0 
et x2y+z+y2z+x+z2x+y=0
Montrer que: xy+z+yz+x+zx+y=1

Solution

on a
x²=x²+xy+xz-xy-xz
x²=x(x+y+z)-x(y-z)=
d’ou
x²/(y+z)=x(x+y+z)-x(y+z) / (y+z)
x²/(y+z)=x(x+y+z)/ (y+z) – x(y-z) / (y+z)
x²/(y+z)=x(x+y+z)/ (y+z) – x ①
de même pour
y²/(z+x)=y(x+y+z)/ (z+x) – y ②
z²/(x+y)=z(x+y+z)/ (x+y) – z ③

①+②+③
x²/(y+z) + y²/(z+x) + z²/(x+y)
=(x+y+z)［x/ (y+z)+y/(z+x)+y/(z+x) ］- x-y-z=0
(x+y+z≠0)

donc

on a
x²=x²+xy+xz-xy-xz
x²=x(x+y+z)-x(y-z)=
d’ou
x²/(y+z)=x(x+y+z)-x(y+z) / (y+z)
x²/(y+z)=x(x+y+z)/ (y+z) – x(y-z) / (y+z)
x²/(y+z)=x(x+y+z)/ (y+z) – x ①
de même pour
y²/(z+x)=y(x+y+z)/ (z+x) – y ②
z²/(x+y)=z(x+y+z)/ (x+y) – z ③

①+②+③
x²/(y+z) + y²/(z+x) + z²/(x+y)
=(x+y+z)［x/ (y+z)+y/(z+x)+y/(z+x) ］- x-y-z=0
(x+y+z≠0)

donc

 
 
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